Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія. Отсутствует

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ успіх в області геометричних побудов спонукав Гаусса до пошуків нових геометричних доведень. Він захопився старою, як світ, загадкою п’ятого Евклідового постулату про паралельні прямі. В 1818 році Гаусс здогадався, що цей постулат може мати інше формулювання – але не на площині, а на інших поверхнях, не відомих Евкліду.

      До кінця життя Гаусс мовчав про свої відкриття в галузі основ геометрії – навіть після того, як їх повторили більш молоді математики: Микола Лобачевський і Янош Больяї. У чому ж річ? Дещо можна зрозуміти з листів Гаусса до його друзів; про інше доводиться здогадуватися. Щоб переконати науковий світ у незалежності постулату Евкліда, треба пред’явити наочну модель, де виконані всі інші аксіоми, а ця замінена чимось іншим. Наприклад, паралельних прямих може зовсім не бути, якщо будь-які дві прямі перетинаються. Таке є на сфері, де роль прямих відіграють кола найбільшого радіуса. Пізніше цю геометрію назвали ім’ ям Ріманна, але на початку ХІХ століття її ніхто не прийняв би всерйоз. Інший варіант геометрії – з багатьма прямими, що проходять через одну точку й не перетинають дану пряму, – називають геометрією Лобачевського (її ми розглянемо трохи нижче). Цей варіант геометрії реалізується на поверхні з постійною негативною кривизною: на так званій псевдосфері, що утворюється при обертанні трактриси («кривої переслідування», схожої на гіперболу) навколо її осі. Гаусс або не зміг побудувати псевдосферу, або не помітив її унікальних властивостей; а без цього він не зважився подати нову «неприродну» геометрію широкій публіці.

      Праці Гаусса тривалий час були недосяжним взірцем математичних відкриттів. Один із творців неевклідової геометрії Я. Больяї називав ці відкриття «найблискучішими відкриттями нашого часу або навіть усіх часів». А норвезький математик Н. Абель писав: «Навіть якщо Гаусс найславетніший геній, він, вочевидь, не намагався, щоб усі це відразу збагнули». У зв'язку з цим доречно згадати, що праці Гаусса надихнули Абеля на побудову багатьох визначних теорем.

      Але чому Гаусс не повідомив про свою гіпотезу про паралельні прямі хоча б у вузькому колі математиків? Адже саме так зробив Піфагор, виявивши несумірність діагоналі квадрата з його стороною! Імовірно, Гаусс міркував так: якщо постулат про паралельні прямі є незалежним від інших аксіом, то зникає єдина наука геометрія! Вона розділяється принаймні на три галузі – відповідно до трьох варіантів постулату про паралельні (за Евклідом, за Ріманном й за Лобачевським). А що далі? Чи не продовжиться розгалуження геометричної науки необмежено – після кожної нової аксіоми? Чи не пошириться цей процес на всю математику? І хто захоче працювати в такій роздробленій науці?

      Мабуть, так міркував Гаусс у другій половині свого життя – і мовчав, не в змозі відповісти ні собі, ні іншим на це питання. Важко відповісти на нього й нині, у ХХІ столітті – особливо після того, як неясний здогад Гаусса перетворився в 1931 році на чітку теорему Геделя про неповноту будь-якої СКАЧАТЬ