Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія. Отсутствует

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ багатогранник? Якщо так, то ця формула навряд чи справедлива для інших замкнутих поверхонь – на зразок тора або кренделя! Перевірка показала: для деяких карт на торі вираз B – P + Г набуває значення 0, а на кренделі – значення (-2). Але довести ці тотожності для всіх карт на складних поверхнях Ейлер не зумів і залишив цю проблему нащадкам. Удача прийшла в 1890-ті роки до Анрі Пуанкаре, який створив науку топологію – розділ математики, що вивчає топологічні властивості фігур, тобто властивості, що не змінюються при будь-яких деформаціях.

      Але більша частина робіт Ейлера присвячена аналізу. Ще 1743 року він видав п’ять мемуарів, із них чотири з математики. Одна із цих праць просто чудова: в ній указується на спосіб інтегрування раціональних дробів шляхом розкладання їх на частки дробу й, крім того, викладається звичайний тепер спосіб інтегрування лінійних звичайних рівнянь вищого порядку з постійними коефіцієнтами. Взагалі, Ейлер так спростив і доповнив цілі великі відділи аналізу нескінченно малих, інтегрування функцій, теорії рядів, диференціальних рівнянь, які були розпочаті вже до нього, що вони набули приблизно такої форми, яка великою мірою притаманна їм і тепер. Ейлер, крім того, почав цілий новий розділ аналізу – варіаційне обчислення. Це його починання незабаром підхопив Ж. Л. Лагранж, що започаткував нову науку.

      Та найвищим досягненням Ейлера в математиці є доведення основної теореми алгебри, яке було опубліковане в 1751 році в роботі «Дослідження про уявні корені рівнянь». Доведення цієї теореми мало найбільш алгебричний характер. Пізніше його базові ідеї повторювалися й поглиблювалися іншими математиками. Так, методи дослідження рівнянь розвивав спочатку Лагранж, а потім вони ввійшли складовою частиною в теорію Е. Галуа.

      Основна теорема полягала в тому, що всі корені рівняння належать полю комплексних чисел. Для доведення цього Ейлер установив, що всякий багаточлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток дійсних лінійних або квадратичних множників.

      Значення чисел, що не є дійсними, Ейлер називав уявними і вказував на те, що звичайно вважають їх такими, які попарно в сумі й добутку дають дійсні числа. Отже, якщо уявний корінь дорівнюватиме 2t, то це дасть t дійсних квадратичних множників у поданні багаточлена. Ейлер пише: «Тому говорять, що кожне рівняння, яке не можна розкласти на дійсні прості множники, має завжди дійсні множники другого степеня. Однак ніхто, наскільки я знаю, ще не довів досить чітко істинність цієї думки; отже, я постараюся довести це таким чином, щоб охопити всі без винятку випадки».

      Такої ж концепції потім дотримувалися Лагранж, Лаплас і деякі інші послідовники Ейлера. Не згодний з нею був лише К. Ф. Гаусс, про якого йтиметься далі.

      Ейлер же сформулював три теореми, що випливають із властивостей безперервних функцій.

      1. Рівняння непарного степеня має щонайменше один дійсний корінь. Якщо таких коренів більше одного, то кількість їх не є парною.

      2. Рівняння парного степеня або має парну кількість дійсних коренів, СКАЧАТЬ