Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин
Чтение книги онлайн.

Читать онлайн книгу Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I - Денис Владимирович Соломатин страница 15

СКАЧАТЬ основании численных экспериментов. Подстановка значений
 и
 в уравнение для модели приводит к следующему выводу:

      Заметим, что

 является очень малым числом, меньше 1, следовательно,
. Таким образом
.

      Это означает, что значения

 близкие к равновесию будут иметь отклонение от равновесия, уменьшающееся примерно в 0.3 раза с каждым последующим шагом времени. Поэтому небольшие отклонение от равновесия в дальнейшем уменьшаются и
 действительно стабильное значение.

      Можно смотреть на число 0.3 как на «коэффициент растяжения», который говорит о том, насколько стремительно меняются отклонения от равновесия с течением времени. В данном примере, поскольку растягиваемся в менее чем 1 раз, на деле имеет место сжатие.

      Процесс, описанный в примере выше, называется линеаризацией модели в равновесии, потому что сначала фокусируем внимание вблизи равновесия путем линейной замены

. Остается только линейная модель, аппроксимирующая исходную модель. Линейные модели, как видели, легко понять, потому что они производят либо экспоненциальный рост, либо распад.

      Вопросы для самопроверки:

      – Выполните аналогичный анализ для другого равновесия этой модели, чтобы показать, что оно нестабильно. Каким будет коэффициент растяжения, на который расстояния от точки равновесия растут с каждым шагом времени?

      В результате аналогичного анализа в окрестности 0 обнаружится, что линеаризация при

 дает
 неустойчиво. В общем случае, когда коэффициент растяжения больше 1 по абсолютной величине, равновесие нестабильно. И наоборот, когда оно меньше 1 по абсолютной величине, равновесие стабильно.

      Из курса математического анализа известно, что вышеописанный процесс линеаризации напоминает аппроксимацию графика функции по касательной прямой. Развивая эту идею коэффициент растяжения в предыдущем примере можно было бы выразить как отношение

. Но
, очень близкие к
, то последнее выражение очень близко к предельному значению
. Но этот предел по определению является не чем иным, как производной
, производной функции, определяющей модель. Итак, мы доказали следующую теорему.

      Теорема. Если модель

 имеет равновесное значение
, то
 нестабильно, а при СКАЧАТЬ