Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ вопрос, каковы возможности модели с двумя неустойчивыми равновесиями и без устойчивых. Какое поведение тогда можно ожидать в долгосрочной перспективе?

      Компьютерный эксперимент показывает, что для значений

 чуть больше 2 популяция попадает в 2-цикл, её численность бесконечно прыгает взад и вперед между значением выше 1 и значением ниже 1. По мере дальнейшего увеличения  значения в 2-цикле меняются, но наличие 2-цикла сохраняется до тех пор, пока не достигнем другого значения , при котором происходит еще одно внезапное качественное изменение. На этот раз видим, что 2-цикл становится 4-циклом. Дальнейшее увеличение  производит 8-циклы, затем 16-циклы и так далее.

      Эта модель приводит к неожиданному, но интересному выводу: одна и та же популяция может демонстрировать разные циклы в своей численности, даже когда окружающая среда совершенно неизменна. Считая, что теоретические предположения в построении математической модели были верны и популяция имеет достаточно большое значение

, на практике она может никогда не достигать ни одного из теоретически существующих равновесных значений.

      Хороший способ понять влияние изменения параметра

 на рассматриваемую модель заключается в изображении диаграммы бифуркации на рисунке 1.6. В Maple это изображение легко получить следующей серией команд:

      with(IterativeMaps):with(ImageTools):

      Logistic := Bifurcation([x], [x + r*x*(1 – x)], [0.99], 1.5, 3):

      ArrayTools:-Dimensions(Logistic)

      ColouringProcedures:-HueToRGB(Logistic):Embed(Logistic)

       

      Рисунок 1.6. Бифуркационная диаграмма логистической модели

, а по вертикальной снизу вверх отложены циклические аттракторы значений соответствующей популяции.

      Рисунок 1.6 получен следующим образом. Для каждого значения

 на горизонтальной оси выбирается некоторое значение . Это значения будут концентрироваться вокруг своеобразных точек притяжения, формируя так называемые циклические аттракторы.

      Чтобы проиллюстрировать процесс для дискретной логистической модели, положим

, после первого набора большого числа итераций,  будет очень близок к стабильному равновесию . Таким образом, когда строим следующий набор из многих итераций, просто многократно строим точки, которые будут выглядеть так, будто они находятся в . На рисунке 1.6 точки фрагмента этой горизонтальной прямой выделены розовым цветом.

      Если СКАЧАТЬ