Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин
Чтение книги онлайн.

Читать онлайн книгу Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I - Денис Владимирович Соломатин страница 11

СКАЧАТЬ вертикально назад к параболе, чтобы найти точку
. Теперь это просто вопрос повторения этих шагов навсегда: двигаться вертикально к параболе, затем горизонтально к диагональной линии, затем вертикально к параболе, затем горизонтально к диагональной линии и так далее.

      Рисунок 1.3. Паутинная диаграмма нелинейной модели.

      Судя по графику ясно, что если начальная популяция

 лежит в диапазоне от 0 до
, то модель с
 и
 приведёт к постоянно растущему значению популяции, которое приближается к предельному значению пропускной способности равному 10.

      Если оставить те же значения

 и
, но положить
, то паутина будет выглядеть так, как показано на рисунке 1.4.

      Рисунок 1.4. Паутинная диаграмма нелинейной модели.

      Действительно, становится ясным, что если

 имеет значение больше, чем
, то наблюдается немедленное падение численности популяции. Если такое падение окажется ниже критического, то произойдёт постепенное увеличение, приближающееся обратно к предельному значению пропускной способности модели.

      Вопросы для самопроверки:

      – Для модели

 найдите отличное от нуля значение
, соответствующее абсциссе точки пересечения параболы с горизонтальной осью, то есть имеющей ординату
.

      – Что произойдет, если

 выбрать больше, чем значение, найденное в предыдущем вопросе?

      Если популяция становится отрицательной, то мы должны интерпретировать это как вымирание.

      На этом этапе можно узнать гораздо больше, изучая логистическую модель с помощью калькулятора или компьютера, чем просто прочитав текст. Упражнения ниже помогут в этом. На самом деле обнаружится, что логистическая модель имеет некоторые сюрпризы, которые вы, возможно, не ожидаете.

      Задачи для самостоятельного решения:

      1.2.1. Пусть

 для
. Изобразите полученные результаты на графике.

      1.2.2. В модели

, какие значения
 приведут к тому, что
 окажется положительным? Отрицательным? Какой смысл это имеет?

      1.2.3. Повторите решение задачи 1 в MATLAB с помощью команд аналогичных следующим:

      p=1; x=p

      for i=1:22; p=p+.3*p*(1-p/15); x=[x p]; end

      plot([0:22], x)

      Объясните, как это работает.

      1.2.4. Используя следующую программу onepop.m для MATLAB при различных значениях

, исследуйте долгосрочное поведение модели
, где
. Возможно, придется изменить количество шагов, с которыми вы запускаете модель, чтобы изучить некоторые из вариантов.

      % onepop.m

      %

      % Модель популяции одного вида

      %

СКАЧАТЬ