Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ функции, алгебраические средства оказались бессильны. Когда модель усложняется, математический анализ становится прекрасным подручным инструментом для профессионального исследователя.

      При линеаризации для определения стабильности очень важно сосредоточиться на равновесии. Даже не пытайтесь определить является ли точка стабильным или нестабильным равновесием, пока не убедитесь в том, что это точка является равновесием в принципе. Последующий анализ предполагает, что точка

 удовлетворяет равенству . Например, если бы попытались линеаризовать  для  в предыдущем примере, то не смогли бы ничего сделать, потому что 11 не является точкой равновесия.

      Наконец, также важно, что проведённый анализ стабильного и неустойчивого равновесия, был локальным, а не глобальным. Эта устоявшаяся терминология означает, что рассмотрели лишь то, что происходит в очень небольших окрестностях вокруг точки равновесия. Хотя устойчивое равновесие будет притягивать все близлежащие значения, это не означает, что значения расположенные далекого тоже должны стремиться именно к нему. Точно так же, как несмотря на то нестабильность равновесие, нельзя утверждать, что далёкие от него значения не будут к нему стремиться или не окажутся вовсе ему равными.

      Далее рассмотрим такие явления в динамическом моделировании как колебания, бифуркации и хаос. В задаче 1.2.4 предыдущего раздела исследовалось динамическое поведение логистической модели

 для K = 10 при множестве значений r. На самом деле, параметр  в модели не очень важен; можно выбрать единицы, в которых измеряется численность популяции так, чтобы пропускная способность стала равна 1. Например, если пропускная способность составляет 10 000 штук, то можно использовать масштабную единицу равную 10 000, и тогда получится . Это наблюдение позволяет подробно сосредоточиться на том, как параметр  влияет на поведение модели.

      Зафиксировав

, для любого значения  логистическая модель имеет два равновесных значения, 0 и 1, так как это единственные значения , которые приводят к . Как увидите в ходе решения задач чуть позже, «коэффициент растяжения» при  будет равен  всегда является неустойчивым равновесием для .

      Случай

 гораздо интереснее. Во-первых, когда . Формула  показывает, что знак  при этом никогда не изменится; хотя отклонение уменьшается, первоначально положительное отклонение остается положительным, а изначально отрицательное – отрицательным. Популяция просто движется к равновесию, никогда не превышая его.

      Далее, когда

 увеличивается настолько, что , то СКАЧАТЬ