Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried
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Название: Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Автор: J. Michael Fried

Издательство: John Wiley & Sons Limited

Жанр: Математика

Серия:

isbn: 9783527839100

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СКАЧАТЬ Folgen definiert.

      

Eine Folge von Elementen einer Menge upper V ist eine Abbildung

f colon double-struck upper Z right-arrow upper V

      der Menge double-struck upper Z der ganzen Zahlen in den Raum upper V, wobei der Definitionsbereich upper D left-parenthesis f right-parenthesis equals colon upper I nach unten beschränkt ist.

      upper I heißt der Indexbereich der Folge. Mit a Subscript n Baseline equals f left-parenthesis n right-parenthesis schreibt man für die Folge auch left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n element-of upper I.

      Die Indexmenge upper I einer Folge kann bei einer beliebigen ganzen Zahl n 0 element-of double-struck upper Z beginnen:

a Subscript n 0 Baseline comma a Subscript n 0 plus 1 Baseline comma a Subscript n 0 plus 2 Baseline comma ellipsis

      In Kurzschreibweise wird dies zu left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n equals n 0 Superscript infinity. Das erlaubt, ein einfaches Bildungsgesetz für das allgemeine Folgenglied a Subscript n mit n greater-than-or-equal-to n 0 anzugeben.

       Folgenglieder können aus beliebigen Mengen upper V stammen, beispielsweise aus einem der Spaltenvektorräume double-struck upper R Superscript n oder einer endlichen Menge upper M mit irgendwelchen Elementen oder einfach aus den reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Buch werden Sie es mit reellen und komplexen Zahlenfolgen, deren Folgenglieder a Subscript n Baseline element-of double-struck upper R oder a Subscript n Baseline element-of double-struck upper C reelle beziehungsweise komplexe Zahlen sind, und mit Punktfolgen von Spaltenvektoren a Subscript n Baseline element-of double-struck upper R Superscript n zu tun haben.

      In diesem Buch werden die meisten auftretenden Folgen left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n element-of upper I aus double-struck upper R squared oder double-struck upper R cubed stammen. Die behandelten Begriffe lassen sich aber fast immer auch auf beliebige endlichdimensionale Räume double-struck upper R Superscript n übertragen.

       Ich werde im Folgenden Punkte aus double-struck upper R Superscript n meist ohne Pfeile darstellen:

a Subscript n Baseline element-of double-struck upper R Superscript m Baseline comma x element-of double-struck upper R Superscript n Baseline comma ellipsis

      Allerdings wird ab und zu zur besonderen Verdeutlichung der Vektoreigenschaften auch die Pfeilschreibweise in diesem Buch verwendet werden.

      Grundlegend und sehr wichtig sind die Begriffe Umgebung und epsilon-Umgebung eines Punktes x element-of double-struck upper R Superscript n.

      

Die Menge

upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x right-parenthesis colon equals StartSet y element-of upper V vertical-bar parallel-to y minus x parallel-to less-than epsilon EndSet

      mit epsilon greater-than 0 heißt epsilon -Umgebung von x. Dabei heißt

parallel-to x parallel-to colon equals StartRoot x 1 squared plus x 2 squared plus ellipsis plus x Subscript n Superscript 2 Baseline EndRoot

      die euklidische Norm.

Eine Teilmenge upper U left-parenthesis x right-parenthesis subset-of-or-equal-to upper V heißt eine Umgebung von x, falls es eine reelle Zahl epsilon greater-than 0 gibt, sodass upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x right-parenthesis subset-of-or-equal-to upper U left-parenthesis x right-parenthesis ist.

      Der Begriff einer Umgebung erlaubt die Definition einiger weiterer wichtiger mathematischer Begriffe.

      

Eine Menge upper M subset-of-or-equal-to upper V heißt offen, falls es für jeden Punkt x element-of upper M eine Umgebung upper U left-parenthesis x right-parenthesis СКАЧАТЬ