Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried
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Название: Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Автор: J. Michael Fried

Издательство: John Wiley & Sons Limited

Жанр: Математика

Серия:

isbn: 9783527839100

isbn:

СКАЧАТЬ und skalare Multiplikation werden auch für reelle Zeilenvektoren komponentenweise definiert.

x equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix comma y equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row y 1 2nd Row y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row y Subscript n Baseline EndMatrix semicolon x comma y element-of double-struck upper R Superscript n

      definieren und die euklidische Norm oder Länge eines Vektors x element-of double-struck upper R Superscript n bestimmen.

      

Für beliebige Vektoren x comma y element-of double-struck upper R Superscript n heißt die reelle Zahl

left pointing angle x comma y right pointing angle colon equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts x Subscript i Baseline y Subscript i Baseline

      das Standardskalarprodukt der Vektoren x und y. Eine häufig verwendete Kurzschreibweise für das Skalarprodukt ist

x dot y colon equals left pointing angle x comma y right pointing angle period

      Die euklidische Norm eines Vektors x element-of double-struck upper R Superscript n ist durch

parallel-to x parallel-to colon equals StartRoot x dot x EndRoot equals StartRoot sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts x Subscript i Superscript 2 Baseline EndRoot

      definiert.

      Den Winkel zwischen den beiden Vektoren x comma y element-of double-struck upper R Superscript n bestimmen Sie aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren mit einer einfachen Formel.

       Der Winkel alpha zwischen den beiden Vektoren x und y aus double-struck upper R Superscript n lässt sich nach der Formel

cosine left-parenthesis alpha right-parenthesis equals StartFraction x dot y Over parallel-to x parallel-to parallel-to y parallel-to EndFraction

      bestimmen.

      Das Vektorprodukt

      Für die Darstellung von Flächenintegralen werden in Kapitel 8 einige Eigenschaften des Vektor- oder Kreuzprodukts zweier Vektoren benötigt.

       Für zwei Vektoren

x equals Start 3 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row x 3 EndMatrix und y equals Start 3 By 1 Matrix 1st Row y 1 2nd Row y 2 3rd Row y 3 EndMatrix mit x comma y element-of double-struck upper R cubed x times y colon equals Start 3 By 1 Matrix 1st Row x 2 y 3 minus x 3 y 2 2nd Row x 3 y 1 minus x 1 y 3 3rd Row x 1 y 2 minus x 2 y 1 EndMatrix

      definierte Vektor das Vektor- oder Kreuzprodukt von x und y.

      Für Kreuzprodukte gelten die folgenden Rechenregeln:

       

        für beliebige Zahlen

       Zwei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn das Kreuzprodukt ergibt.

       Für drei Vektoren gelten:

       Das Kreuzprodukt ist antisymmetrisch, das heißt: .

       Das Assoziativgesetz ist für das Vektorprodukt im Allgemeinen nicht erfüllt!

       Das Kreuzprodukt ist orthogonal zu und zu .

       Sind und linear unabhängig, so bilden und eine positiv orientierte Basis.

       

      Ist alpha not-equals 0 der Winkel zwischen den beiden linear unabhängigen Vektoren x comma y element-of double-struck upper R cubed, dann gilt:

parallel-to x times y parallel-to equals parallel-to x parallel-to dot parallel-to y parallel-to dot StartAbsoluteValue sine left-parenthesis alpha right-parenthesis EndAbsoluteValue equals StartAbsoluteValue parallel-to x parallel-to dot parallel-to y parallel-to dot sine left-parenthesis alpha right-parenthesis EndAbsoluteValue

      Die Länge parallel-to x times y parallel-to des Kreuzprodukts entspricht also dem Flächeninhalt des durch x und y aufgespannten Parallelogramms.

      Das Spatprodukt