Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried
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Название: Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Автор: J. Michael Fried

Издательство: John Wiley & Sons Limited

Жанр: Математика

Серия:

isbn: 9783527839100

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СКАЧАТЬ für Determinanten anzugeben.

      

Für eine quadratische Matrix upper A element-of double-struck upper R Superscript 2 times 2 mit

upper A equals Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column a 11 2nd Column a 12 2nd Row 1st Column a 21 2nd Column a 22 EndMatrix

      heißt die Zahl

det left-parenthesis upper A right-parenthesis colon equals Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column a 11 2nd Column a 12 2nd Row 1st Column a 21 2nd Column a 22 EndMatrix colon equals a 11 a 22 minus a 12 a 21

      die Determinante von upper A. Für eine Matrix upper A element-of double-struck upper R Superscript 3 times 3 ist

StartLayout 1st Row 1st Column det left-parenthesis upper A right-parenthesis 2nd Column colon equals 3rd Column a 11 a 22 a 33 plus a 12 a 23 a 31 plus a 13 a 21 a 32 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column Blank 3rd Column minus a 13 a 22 a 31 minus a 11 a 23 a 32 minus a 12 a 21 a 33 period EndLayout

      Determinanten für Matrizen mit mehr als drei Zeilen und Spalten berechnen Sie mit Hilfe des sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatzes über die Kofaktoren bestimmter Matrixkomponenten.

      

Ist upper A element-of double-struck upper R Superscript n times n eine quadratische Matrix mit n Zeilen und Spalten, dann heißt die quadratische Matrix mit left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis Zeilen und Spalten, die aus upper A durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entsteht, die Untermatrix upper A Subscript i k.

alpha Subscript i k Baseline colon equals left-parenthesis negative 1 right-parenthesis Superscript i plus k Baseline det left-parenthesis upper A Subscript i k Baseline right-parenthesis

      heißt der Kofaktor zum Element a Subscript i k der Matrix upper A.

      Mit Hilfe von Untermatrizen lassen sich ganz allgemein Determinanten auf zwei Weisen rekursiv berechnen.

       Die eine Möglichkeit ist die Entwicklung nach der -ten Spalte: für ist:

       Die andere Variante ist die Entwicklung nach der -ten Zeile: für ist:

      Mit diesen beiden Methoden können Sie die Berechnung der Determinante jeder quadratischen Matrix upper A element-of double-struck upper R Superscript n times n auf die Berechnung von Determinanten quadratischer Matrizen mit nur zwei Zeilen und Spalten zurückführen.

      Determinanten werden zum Beispiel bei der weiter unten in diesem Kapitel beschriebenen Eigenwertberechnung und bei der Transformation verschiedener Koordinatensysteme zur mehrdimensionalen Integration benötigt, die in Kapitel 6 behandelt wird.

      Außerdem können Sie mit Hilfe der Determinante der Systemmatrix die eindeutige Lösbarkeit eines quadratischen LGS feststellen.

       Ist für die Systemmatrix upper A element-of double-struck upper R Superscript n times n eines quadratischen LGS

upper A x equals b

      die Determinante det left-parenthesis upper A right-parenthesis not-equals 0 von null verschieden, dann existiert ein einziger Lösungsvektor x element-of double-struck upper R Superscript n für dieses LGS. Ist dagegen det left-parenthesis upper A equals 0, dann gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen des LGS.

      Das Gauß-Verfahren

      Es gibt sehr viele verschiedene Verfahren zur exakten oder näherungsweisen Lösung eines LGS. Die meisten dieser Verfahren eignen sich hauptsächlich für die computergestützte Lösung sehr großer LGS, das heißt für eine sehr große Zahl von Unbekannten und Gleichungen.

      Einige Verfahren können Sie aber durchaus auch zur Berechnung der Lösung kleinerer LGS von Hand einsetzen. Das bekannteste und wichtigste dieser Verfahren ist der Gauß-Algorithmus. Die zugrunde liegende Idee ist es, das zu lösende Gleichungssystem auf obere Dreiecksgestalt zu bringen und dann die Lösung durch Rückwärtslösen zu bestimmen.

      Ist beispielsweise upper R element-of double-struck upper R Superscript n times n eine obere Dreiecksmatrix:

upper R equals Start 4 By 4 Matrix 1st Row 1st Column r 11 2nd Column r 12 3rd Column ellipsis 4th Column r Subscript 1 n Baseline 2nd Row 1st Column 0 2nd Column r 22 3rd Column ellipsis 4th Column r Subscript 2 n Baseline 3rd Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column down-right-diagonal-ellipsis 3rd Column down-right-diagonal-ellipsis 4th Column vertical-ellipsis 4th Row 1st Column 0 2nd Column ellipsis 3rd Column 0 4th Column r Subscript n n EndMatrix

      mit

det left-parenthesis upper R right-parenthesis equals r 11 r 22 dot midline-horizontal-ellipsis dot r Subscript n n Baseline not-equals 0 comma

      dann ist die Lösung des LGS upper R x equals c eindeutig bestimmt, und das Rückwärtslösen können Sie nach dem folgenden Algorithmus vornehmen:

      1 Starten Sie in der -ten Zeile:

      2 Weiter geht es mit der -ten Zeile:Diese können Sie nach auflösen, da Sie schon aus dem letzten Schritt kennen.

      3 Auf СКАЧАТЬ