Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

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      den Differenzenquotienten von an der Stelle . Er beschreibt die Änderung der Funktionswerte in Abhängigkeit von der Änderung der Argumente und entspricht anschaulich der Steigung einer Geraden durch die beiden Punkte und . Der Grenzwert des Differenzenquotienten für entspricht dann der Tangentensteigung an die Funktion im Punkt , das heißt: der Ableitung.

      eigentlich existiert, das heißt nicht ist.

      In diesem Fall wird der Grenzwert mit bezeichnet und heißt die Ableitung der Funktion an der Stelle .

      Eine häufig verwendete Schreibweise für ist der Differentialquotient:

Nicht alle Funktionen besitzen an jeder beliebigen Stelle eine Ableitung, manche Funktionen sind sogar nirgends differenzierbar. Andere Funktionen sind dagegen auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und definieren damit eine weitere Funktion.

      

Eine Funktion heißt auf differenzierbar, falls an jeder Stelle differenzierbar ist. Die Funktion mit

      heißt Ableitung der Funktion .

Die Ableitung einer Funktion hat eine anschauliche geometrische Bedeutung: Betrachten Sie die in Abbildung 1.4 dargestellte Gerade durch die beiden Punkte und .

Abbildung 1.4: Die Gerade

durch die beiden Punkte

und

      Der Differenzenquotient entspricht gerade der Steigung der Geraden СКАЧАТЬ