Physikalische Chemie. Peter W. Atkins

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Abb. 1.12 Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül eine Geschwindigkeit zwischen v₁ und v₂ besitzt, integrieren wir die Verteilung in diesen Grenzen; das Integral entspricht der Fläche unter der Kurve zwischen den Begrenzungslinien (hier schattiert).

      Wir sehen also, dass die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit der Moleküle eines Gases proportional zur Wurzel aus der Temperatur und umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Molmasse des Gases ist. Mit steigender Temperatur nimmt folglich die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit der Teilchen zu, und bei einer gegebenen Temperatur bewegen sich schwerere Moleküle langsamer als leichtere.

Das wichtigste Ergebnis dieser Betrachtungen ist: Wenn wir Gl. (1.16) in die Beziehung zwischen Druck und Temperatur eines Gases (Gl. (1.10)) einsetzen, dann erhalten wir als Ergebnis pV = nRT, die Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4)). Dies bestätigt, dass die kinetische Gastheorie als valides Modell für ein ideales Gas angesehen werden kann.

Beispiel 1.3: Die Berechnung der mittleren Molekülgeschwindigkeit in einem Gas

      Wie groß sind die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit c̄ und die mittlere Geschwindigkeit c̄ von N₂-Molekülen in Luft bei 25 °C?

      Vorgehensweise Wir berechnen zunächst die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit c gemäß Gl. (1.16) mit M = 28, 02 gmol⁻¹ (also 0, 028 02kg mol⁻¹) und T = 298 K. Die mittlere Geschwindigkeit c̄ erhalten wir dann durch Evaluation des Integrals

      mit dem Ausdruck für ƒ(υ) aus Gl. (1.12). Hierzu können Sie mathematische Software oder die Standardintegrale verwenden, die im Anhang dieses Buchs angegeben sind. Beachten Sie dabei, dass 1 J = 1kgm² s⁻² ist.

      Lösung Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit ist

      Das erforderliche Integral zur Berechnung von c̄ ist

      Dabei haben wir das Standardintegral

      verwendet. Einsetzen der Zahlenwerte ergibt nun für die mittlere Geschwindigkeit

       Selbsttest 1.3

Zeigen Sie, dass sich Gl. (1.15) aus Gl. (1.14) ergibt.

      Wie in Beispiel 1.3 gezeigt wurde, können wir mithilfe der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung die mittlere Geschwindigkeit c̄ der Moleküle eines Gases berechnen:

      (1.17)

      Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit c* ergibt sich aus der Lage des Maximums der Verteilung durch Ableiten von ƒ(υ)nach υ und Suche des Werts von υ, für den die Ableitung null wird (abgesehen von υ = 0 und υ = ∞; siehe Aufgabe S1.2.10 im Übungsteil am Ende dieses Fokus):

      (1.18)

In Abb. 1.13 sind diese Ergebnisse veranschaulicht.

Abb. 1.13 Zusammenfassung der Schlussfolgerungen, die sich aus der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung für Moleküle mit der Molmasse M und der Temperatur T ergeben: Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist c∗, diemittlere Geschwindigkeit ist c̄ und die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit ist c.

      Aus der Verteilung können wir auch die mittlere Relativgeschwindigkeit c̄_rel ermitteln (die mittlere Geschwindigkeit, mit der ein Molekül sich einem anderen nähert):

(1.19a)

Dieses Ergebnis ist wesentlich komplizierter herzuleiten; das Diagramm in Abb. 1.14 soll zumindest zeigen, dass es plausibel ist. Gleichung (1.19a) lässt sich auch zur Beschreibung der mittleren Relativgeschwindigkeit zweier verschiedener Moleküle mit den Massen m_B und m_B verallgemeinern:

(1.19b) СКАЧАТЬ