Physikalische Chemie. Peter W. Atkins
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Название: Physikalische Chemie
Автор: Peter W. Atkins
Издательство: John Wiley & Sons Limited
Жанр: Химия
isbn: 9783527828326
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Die Konzepte der klassischen Mechanik finden ihren Ausdruck in der Definition des Impulses p eines Teilchens, der definiert ist als
Der Impuls berücksichtigt also ebenfalls die Geschwindigkeit als vektorielle Größe (mit Ausbreitungsrichtung). Teilchen derselben Masse, die sich mit identischer Geschwindigkeit v bewegen, jedoch in unterschiedliche Raumrichtungen, besitzen also auch unterschiedliche Impulse.
Die Beschleunigung a (engl. acceleration) ist die Änderung der (gerichteten) Geschwindigkeit pro Zeit.
Ein Teilchen beschleunigt, wenn sich die Geschwindigkeit seiner Bewegung erhöht. Ebenso spricht man von einer Beschleunigung des Teilchens, wenn der Betrag seiner Geschwindigkeit zwar unverändert bleibt, sich jedoch seine Bewegungsrichtung ändert. Nach dem zweiten Newton’schen Gesetz ist die Beschleunigung eines Teilchens der Masse m proportional zu der Kraft, die auf das Teilchen wirkt:
Da mv der Impuls ist, und a die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit, entspricht ma der zeitlichen Änderung des Impulses. Anders formuliert können wir also feststellen, dass die Kraft, die auf ein beschleunigtes Teilchen wirkt, gleich der Änderungsrate des Impulses ist. Das zweite Newton’sche Gesetz zeigt, dass die Beschleunigung in derselben Raumrichtung verläuft wie die Kraft, die auf ein Teilchen wirkt. In einem isolierten System, auf das keine externen Kräfte einwirken, findet also keinerlei Beschleunigung statt. Diese Feststellung ist nichts anderes als der Impulserhaltungssatz: der Impuls eines Teilchens bleibt konstant erhalten, solange keine (externe) Kraft auf ihn einwirkt.
(a) Druck und Molekülgeschwindigkeiten
Aus den recht spärlichen Annahmen, die der kinetischen Gastheorie zugrunde liegen, lässt sich eine Beziehung zwischen dem Druck und dem Volumen eines Gases herleiten.
Herleitung 1.1: Der Druck eines Gases nach der kinetischen Gastheorie
Wir betrachten zunächst die Anordnung in Abb. 1.8 und gehen dann schrittweise vor.
Abb. 1.8 Der Druck eines Gases kommt durch den Aufprall seiner Moleküle auf die Gefäßwände zustande. Beim elastischen Stoß eines Moleküls auf eine senkrecht zur x-Achse stehende Wand kehrt sich das Vorzeichen der Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung um; y- und z-Komponente werden nicht beeinflusst.
Schritt 1 Berechnung der Änderung des Impulses eines Teilchens beim Stoß auf die Wand.
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich mit einer Geschwindigkeit vx parallel zur x-Achse. Beim Aufprall auf die rechte Wand wird es in entgegengesetzter Richtung reflektiert, dabei ändert sich sein Impuls (das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit) von mvx (vor dem Stoß) auf −mvx (die Bewegung erfolgt nun in Gegenrichtung). Bei jedem Stoß ändret sich die x-Komponente des Impulses um 2mvx (die y- und z-Komponenten bleiben urwerandert). Die Gesamtimpulsanderung innerhalb eines Zeitintervalls Δt für viele Moleküle ist das Produkt aus der Anzahl der innerhalb dieses Intervalls erfolgten Stöße und der jeweiligen Impulsänderung.
Schritt 2 Berechnung der Anzahl der Stöße auf die Wand im Zeitintervall Δt.
Ein Teilchen mit der Geschwindigkeit vx bewegt sich in der Zeit Δt eine Strecke vxΔt entlang der x-Achse; daher gelangen alle Moleküle zur Wand, die sich innerhalb einer Entfernung vxΔt von ihr aufhalten und sich auf die Wand zu bewegen (Abb. 1.9). Auf eine Wand der Fläche A treffen somit im Intervall Δt alle Moleküle auf, die sich innerhalb des Volumens A × vxΔt auf die Wand zu bewegen. Die Zahlendichte der Teilchen beträgt nNA/V, wobei n die Stoffmenge im Gesamtvolumen V des Behälters und VA die Avogadro-Konstante ist; die Teilchenzahl im Volumen AvxΔt ist (nNA/V)× AvxΔt.
Abb. 1.9 Ein Molekül erreicht die rechte Wand genau dann innerhalb eines Zeitintervalls Δt, wenn es sich in einem Abstand kleiner oder gleich vxΔt von der Wand befindet und sich auf diese zu bewegt.
Zu jedem Zeitpunkt bewegt sich die eine Hälfte der Teilchen in Richtung der rechten, die andere in Richtung der linken Gefäßwand. Die mittlere Stoßzahl auf eine der Wände im Intervall Δt ist demnach
Schritt 3 Berechnung der Kraft, die auf die Wand ausgeübt wird.
Um die Kraft zu ermitteln, berechnen wir die Geschwindigkeit der Impulsänderung, indem wir durch das Zeitintervall Δt dividieren:
Diese Geschwindigkeit der Impulsänderung ist (nach dem zweiten Newton’schen Gesetz) gleich der Kraft, die die Moleküle auf die Wand ausüben.
Schritt 4 Berechnung des Drucks, der durch diese Kraft auf die Wand ausgeübt wird.
Somit ergibt sich der Druck als Quotient aus Kraft und Fläche (also nach Division von
Da sich nicht alle Moleküle mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, entspricht der messbare Druck p dem Mittelwert dieser Größe (bezeichnet mit ⟨…⟩). Somit gilt
Da sich die Moleküle völlig regellos bewegen, sind alle drei Mittelwerte
An dieser Stelle ist es hilfreich, die quadratisch СКАЧАТЬ