Physikalische Chemie. Peter W. Atkins
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Название: Physikalische Chemie
Автор: Peter W. Atkins
Издательство: John Wiley & Sons Limited
Жанр: Химия
isbn: 9783527828326
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Wegen R = NAk (siehe „Tab. 1.2) und m/k = mNA/ R = M/R folgt schließlich
Die Funktion ƒ(υ)wird Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung (auch Maxwell-Boltzmann-Verteilung) genannt. Genau wie andere Verteilungsfunktionen erhält auch ƒ(υ) erst durch die Multiplikation mit der Breite des betrachteten Intervalls (hier eines Geschwindigkeitsbereichs) eine konkrete physikalische Bedeutung.
Tab. 1.2 Die (molare) Gaskonstante in verschiedenen Einheiten*).
| R | Einheit |
| 8, 314 47 | JK-1 mol-1 |
| 8, 205 74 × 10-2 | dm3 atm K-1 mol-1 |
| 8, 314 47 × 10-2 | dm3 bar K-1 mol-1 |
| 8, 314 47 | Pa m3 K-1 mol-1 |
| 62, 364 | dm3 Torr K-1 mol-1 |
| 1, 987 21 | cal K-1 mol-1 |
*) Die Gaskonstante ist definiert als R = NAk, wobei NA die Avogadro-Konstante und k die Boltzmann-Konstante ist.
Abb. 1.10 Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Molekül eine Geschwindigkeit im Bereich von v bis v +dv besitzt, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Geschwindigkeitsvektor irgendwo auf eine Kugelfläche mit dem Radius
Toolkit 4: Integralrechnung
Mithilfe der Integralrechnung lassen sich die Flächen unterhalb von Graphen analysieren. Das Integral einer Funktion ƒ(x), das mit ∫ ƒ (x)dx symbolisiert wird (die lang gestreckte S-Form des Symbols soll an den Begriff „Summe„ erinnern), zwischen den beiden Werten x = a und x = b ist als die Summe aller infinitesimal kleinen Änderungen dx zwischen dem Anfangs- und Endwert von x definiert. Wenn wir uns die Fläche zwischen a und b zusammengesetzt aus einer endlichen Zahl einzelner Bereiche mit der Breite δx vorstellen (siehe Abb. T1), können wir diese Summe schreiben als
Die Funktion, die integriert werden soll, nennt man Integrand. Es ist eine erstaunliche Tatsache in der Mathematik, dass die Integration einer Funktion die Umkehrung der Ableitung dieser Funktion darstellt. Mit anderen Worten: wenn wir eine Funktion ƒ zunachst differenzieren und das Ergebnis nachfolgend integrieren, erhalten wir wieder die ursprungliche Funktion ƒ (von konstanten Faktoren, die dabei „verloren gehen“ können, einmal abgesehen).
Den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen nennt man bestimmtes Integral der Funktion ƒ(x). Wenn ein Integral ohne die Integrationsgrenzen a und b angegeben wird, dann sprechen wir von einem unbestimmten Integral der Funktion. Wenn das Ergebnis einer unbestimmten Integration g(x) + C lautet, wobei C eine Konstante ist, dann lässt sich das zugehörige bestimmte Integral mithilfe der folgenden Prozedur ermitteln:
Beachten Sie, dass die Konstante C bei diesem Verfahren „verschwindet“. Die bestimmten und unbestimmten Integrale, die in diesem Buch verwendet werden, sind im Anhang gesammelt aufgelistet. Integrale komplexerer Funktionen können auch mithilfe mathematischer Software berechnet werden.
An dieser Stelle wollen wir die Eigenschaften der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung etwas genauer unter die Lupe nehmen (siehe dazu Abb. 1.11):
1 • Gleichung (1.12) enthält eine abfallende Exponentialfunktion (genauer gesagt eine Gaußfunktion), nämlich den Term e−Mυ2/2RT. Er deutet darauf hin, dass der Anteil der Moleküle mit sehr hoher Geschwindigkeit sehr gering seinwird, da e−x2 für große Werte von x sehr klein wird.Abb. 1.11 Die Geschwindigkeitsverteilung von Molekülen als Funktion der Temperatur und der molaren Masse. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit (das Maximum der Verteilungskurve) wird mit steigender Temperatur und sinkender Molmasse größer und gleichzeitig wird die Verteilung breiter.
2 • Der Faktor M/2RT, mit dem υ2 im Exponenten multipliziert wird, ist groß, wenn die Molmasse M groß ist; der Exponentialterm geht daher für große Mbesonders schnell gegen null. Mit anderen Worten: Schwere Moleküle bewegen sich in der Regel nicht sehr schnell.
3 • Das Gegenteil trifft bei hohen Temperaturen T zu; dann wird der Faktor M/2RTklein und der Exponentialterm strebt mit zunehmendem υ nur langsam gegen null. Mit anderen Worten: Bei hohen Temperaturen bewegt sich ein größerer Teil der Moleküle schnell als bei niedrigen Temperaturen.
4 • Der Exponentialterm wird seinerseits mit einem Faktor υ2 multipliziert, der gegen null geht, wenn die Geschwindigkeit gegen null geht; der Anteil von Molekülen mit sehr geringer Geschwindigkeit ist folglich ebenfalls klein.
5 • Die verbleibenden Faktoren (der Term in Klammern in Gl. (1.12) sowie 4π) sind lediglich dafür zuständig, dass sich bei der Addition aller Anteile mit Geschwindigkeiten zwischen null und unendlich immer 1 ergibt.
(c) Mittlere Molekülgeschwindigkeiten
Mithilfe der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung ist es möglich, den Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit in jedweder Potenzierung zu berechnen, indemwir das entsprechende Integral lösen.Um beispielsweise den Anteil F der Moleküle zu ermitteln, die sich mit Geschwindigkeiten СКАЧАТЬ