Physikalische Chemie. Peter W. Atkins

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       Selbsttest 1.1

      Wenn der Enddruck im beschriebenen Prozess 300 atm beträgt, wie hoch ist dann die Temperatur?

      [Antwort: 900 K]

Die Zustandsgleichung des idealen Gases ist in der Physikalischen Chemie von zentraler Bedeutung, da auf ihrer Grundlage zahlreiche thermodynamische Beziehungen hergeleitet werden können. Außerdem lässt sie sich in der Praxis zur Berechnung der Eigenschaften von Gasen unter vielfältigen Bedingungen anwenden. So kann man das molare Volumen V_m = V/n eines idealen Gases unter Standard-Umgebungsbedingungen (SATP, 298, 15K und 10₅ Pa =1 bar) leicht berechnen: V_m = RT/p = 24, 789 dm³ mol⁻¹. Früher wurden häufig auch die sogenannten Standardbedingungen (STP, 0 °C und 1 atm) verwendet; dasmolare Volumen eines idealen Gases ist dann gleich 22, 414 dm³ mol⁻¹.

      Das Gesetz von Boyle lässt sich auf molekularer Ebene wie folgt erklären: Wenn man eine Gasprobe auf die Hälfte ihres Anfangsvolumens komprimiert, so treffen innerhalb einer bestimmten Zeit doppelt so viele Moleküle auf die Gefäßwand wie vor der Kompression. Folglich ist diemittlere auf die Wand ausgeübte Kraft ebenfalls doppelt so groß wie zuvor.Wenn das Volumen halbiert wird, verdoppelt sich demzufolge der Druck und pV bleibt konstant. Das Gesetz von Boyle gilt für alle Gase unabhängig von ihrer chemischen Zusammensetzung sofern nur der Druck gering genug ist, weil in diesem Fall die mittlere Entfernung zwischen zwei Molekülen so groß ist, dass diese einander nicht beeinflussen, sich also unabhängig voneinander bewegen. Diemolekulare Erklärung des Gesetzes von Charles beruht auf der Tatsache, dass diemittlere Geschwindigkeit der Moleküle eines Gases mit steigender Temperatur zunimmt. Folglich treffen die Moleküle häufiger und heftiger auf die Gefäßwand, üben also einen größeren Druck aus. Eine quantitative Betrachtung dieser Beziehungen finden Sie in Abschn. 1.2.

      (b) Gasmischungen

      Wenn man sich mit Gasmischungen beschäftigt, stellt sich häufig die Frage, welchen Beitrag jede einzelne Komponente zum Gesamtdruck der Mischung liefert. Der Partialdruck p_J eines beliebigen (nicht unbedingt idealen) Gases J in einer Mischung ist definiert als

(1.6)

      mit dem Molenbruch (auch Stoffmengenanteil) x_J der Komponente J, der Anzahl von Molekülen J (Stoffmenge n_J im Verhältnis zur Gesamtzahl n der Moleküle in der Probe),

(1.7)

      Wenn kein Molekül J vorhanden ist, wird x_J = 0; wenn ausschließlich J vorhanden ist, wird x_J = 1. Aus der Definition von x_J folgt unabhängig von der Zusammensetzung des Gemisches x_A + x_B + … = 1; folglich ist der Gesamtdruck gleich der Summe der Partialdrücke:

(1.8)

      Diese Beziehung gilt sowohl für ideale als auch für reale Gase.

Wenn sich alle Gase in der Mischung ideal verhalten, so entspricht der in Gl. (1.6) definierte Partialdruck dem Druck, den jede einzelne Komponente ausüben würde, wenn sie sich bei gleicher Temperatur allein im betrachteten Behälter befände (daher die Bezeichnung „Partialdruck“, anteiliger Druck). Diese Feststellung bildet die Grundlage der ursprünglichen Formulierung des Gesetzes von Dalton:

      Der Druck einer Mischung von Gasen ist gleich der Summe der Drücke, die die Einzelkomponenten ausüben, wenn sie das Volumen der Mischung jeweils allein ausfüllen.

Inzwischen wissen wir, dass die Beziehung zwischen dem Partialdruck (wie in Gl. (1.6) definiert) und dem Gesamtdruck (wie in Gl. (1.8) gegeben) für alle Gase gilt; die Gleichsetzung des Partialdrucks einer Komponente mit dem Druck, den sie allein im Behälter ausüben würde, gilt dagegen nur für ideale Gase.

      Beispiel 1.2: Berechnung von Partialdrücken

      Die Zusammensetzung trockener Luft in Höhe des Meeresspiegels (in Massen-%) ist etwa: 75, 5 % N₂, 23, 2 % O₂, 1, 3 % Ar. Wie groß ist der Partialdruck jeder Komponente bei einem Gesamtdruck von 1, 20 atm?

      Vorgehensweise Die Definition des Partialdrucks ist durch Gl. (1.7) gegeben; zu ihrer Anwendung benötigen wir die Molenbrüche der Komponenten, definiert durch Gl. (1.8). Zu ihrer Berechnung machen wir uns zunutze, dass die Anzahl der Moleküle J mit der molaren Masse M_J in einer Probe mit der Masse m_J gegeben ist durch m_J = M_J. Da die Molenbrüche relative Größen sind (also nicht von der Gesamtmasse der Probe abhängen), wählen wir eine willkürliche Masse (etwa 100 g), um uns die Rechnung zu erleichtern. Die Masse von N₂ beträgt dann 75, 5 % von 100 g, also 75, 5 g.

      Lösung Für die Masse von N₂, O₂ und Ar setzen wir 75, 5 g, 23, 3 g und 1, 3 g ein. Die Stoffmengen der Gase in 100 g Luft betragen dann:

Die Summe der Stoffmengen ist n = 3, 45 mol. Die Molenbrüche ergeben sich, indem wir jede dieser Stoffmengen durch 3, 45 mol teilen, und die Partialdrücke erhalten wir durch Multiplikation des Molenbruchs mit dem Gesamtdruck 1, 20 atm. Es ergibt sich:

       Selbsttest 1.2

      Die Partialdrücke bei einem Gesamtdruck von 0, 900 atm sollen berechnet werden, wenn man bei der Luftzusammensetzung (in Massen-%) Kohlendioxid mit berücksichtigt: x = 75, 52 (N₂), 23, 15 (O₂), 1, 28 (Ar), 0, 046 (CO₂).

      [Antwort: 0, 703 atm, 0, 189 atm, 0, 0084 atm, 0, 000 27 atm]

Anwendung 1: Umweltwissenschaft – Die Bedeutung der Gasgesetze für das Wetter

      Die umfangreichste uns zugängliche „Gasprobe“ ist die Atmosphäre, ein Gasgemisch, dessen Zusammenset- zung Sie Tab. A1 entnehmen können. Diffusion und Konvektion (Winde, insbesondere örtliche Turbulen- zen oder Wirbel) halten die Zusammensetzung unge- fähr konstant. Druck und Temperatur hingegen hängen von der Höhe über dem Meeresspiegel und von den lokalen Gegebenheiten ab, insbesondere in der Tropo- sphäre, die sich bis in 11 km Höhe erstreckt.

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