Panorama współczesnej filozofii. Отсутствует

Чтение книги онлайн.

      I.1. Krzysztof Wójtowicz podaje podstawowe cechy systemów aksjomatycznych: występują w nich (1) pojęcia pierwotne, (2) pewne założenia przyjmowane bez uzasadnienia i (3) reguły argumentacji, które pozwalają wskazać klasy poprawnych (z punktu widzenia danego systemu) rozumowań. To znaczy m.in., że w tle tych aksjomatów mamy klasyczny rachunek zdań i aksjomaty logiki, takie jak np. prawo wyłączonego środka. Zastanów się, jaka jest rola tych założeń. Czy na ich mocy można też zaksjomatyzować np. bajkę o Czerwonym Kapturku?

      I.2. Czym motywowany jest wybór aksjomatów? Pożądanym zakresem twierdzeń teorii, prostotą założeń, elegancją przekształceń? Czy można za zbiór aksjomatów przyjąć wszystkie twierdzenia teorii? Jaką rolę przy wyborze aksjomatów odgrywa intuicja, a jaką względy pragmatyczne?

      I.3. Słynny V aksjomat Euklidesa głosi (w swobodnym sformułowaniu), że przez punkt nieleżący na danej prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do tej prostej. Co to znaczy, że to założenie jest intuicyjnie prawdziwe? Skąd bierze się ta intuicja?

      I.4. David Hilbert rzekomo powiedział: „Jeśli podamy dobrą aksjomatyzację dla geometrii, to możliwe będzie mówienie o stołach, krzesłach i kuflach piwa – zamiast o punktach, prostych i płaszczyznach”. Skąd wiemy, że geometria Euklidesa nie mówi o stołach, krzesłach i kuflach piwa?

      I.5. Czy ta obserwacja uzasadnia przekonanie, że powinno się raczej mówić o tym, że pewna teoria jest spełniona w pewnym modelu, a nie że jest powszechnie prawdziwa? Czym jest model? Jak intuicyjnie rozumiemy pojęcie modelu? A jaka jest jego definicja techniczna?

      I.6. Czy zawsze aksjomaty definiują sens terminów pierwotnych? Co właściwie mamy na myśli, mówiąc o ustaleniu sensu terminów przez aksjomaty? A czy możemy mówić o sensie samych aksjomatów? W jaki sposób miałby być ustalony ich sens?

      I.7. Co to znaczy, że jakieś zdanie jest logicznym wnioskiem z innych zdań? Czy odpowiedź na to pytanie jest równoznaczna z podaniem „(3) reguł argumentacji” z punktu I.1?

      I.8. Co mamy na myśli, mówiąc, że tautologie klasycznego rachunku zdań są uniwersalnie ważne? Jak można opisać różnicę między prawdami logiki (np. właśnie tautologiami rachunku zdań) a uniwersalnymi regułami wnioskowania? Kiedy może się zdarzyć, że przyjmiemy w teorii jakieś założenie, z którego potem nie korzystamy? Czy jest to błąd – a jeśli tak, to jakiego typu?

      I.9. W systemie aksjomatycznym dowód jakiejś tezy polega na sformułowaniu ciągu zdań kończących się tą tezą, przy spełnieniu wymagania, że każde zdanie w tym ciągu wynika z „(2) pewnych założeń przyjmowanych bez uzasadnienia” z punktu I.1 i przekształcanych przez „(3) reguły argumentacji” z punktu I.1. Czy oznacza to, że każda teoria aksjomatyczna twierdzi tylko to, co było zawarte w jej aksjomatach?

      I.10. Co myślisz o zdaniu: „Dowód matematyczny – nawet gdybyśmy chcieli uważać go za ciąg formalnych manipulacji – przebiega zawsze na podstawie reguł, które odzwierciedlają nasz sposób myślenia”?