Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

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4.1 Números imaginarios II

      Las ecuaciones de la forma x² + a = 0, a , no tienen solución en el conjunto numérico de los números reales porque el cuadrado de un número real es un número no negativo y al ser sumado con un número positivo su resultado no es cero. En particular en la ecuación x² + 1 = 0, si tuviese solución en el conjunto de los números reales, debiese existir un número real con la condición de que x² = –1. Para resolver el problema se define el número i (unidad imaginaria) como el número cuyo cuadrado es –1, es decir, i² = –1. Por lo tanto la ecuación x² + 1 = 0 tiene como soluciones x₁ = i, x₂ = –i.

      Las ecuaciones de la forma x² + a = 0, con a , tienen dos raíces o soluciones imaginarias que son:

       Potencias de i

      En el desarrollo de potencias de i se tiene:

      En general, se tiene ∀ p :

       Actividades resueltas

       1. Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución en .

      a) x² + 10 = 0

      Al despejar se obtiene x² = –10. Luego, no existe un número real que al elevarlo al cuadrado resulte –10. Por lo tanto, no tiene solución en .

      b) 4x² – 16 = 0

      Al despejar se obtiene x² = 4. Luego se tiene que existen dos números reales que cumplen la igualdad: 2 y –2. Por lo tanto, tiene solución en .

       2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

       3. Calcula el valor de cada potencia.

       4. Calcula el resultado de cada expresión.

       Actividades

       1. Determina cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en .

      a) x² + 6 = 0

      b) x² – 5 = 0

      c) 5x² – 25 = 0

      d) 0 = 4x² + 32

      e) 0 = 12(x² + 3)

      f) 15 = 7x² – 15

      g) 8(x² + 12) = 16(x² – 7)

       2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

      a) x² + 5 = 0

      b) 0 = 150 + x²

      c) x² + 12 = 0

      d) –x² = 200

      e) x² + 16 = 0

      f) –5x² = 500

      g) 0 = 25 + x²

      h) –8x² = 288

      i) 0 = 100 + x²

      j) –9x² = 81

       3. Calcula el valor de cada potencia de i, luego resuelve.

       4. Determina el resultado de cada expresión.

       5. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica en cada caso.

      a) Toda expresión de la forma , a , representa un número imaginario.

      b) Al calcular i se obtiene como resultado –9.

      c) Al calcular i⁴⁵⁶ su resultado es un número real.

      d) El resultado de i^–7 es un número imaginario.

       6. Calcula cada suma.

      a) i³ + i⁶ + i⁹ + ... + i⁹⁶ + i⁹⁹

      b) i² + i⁴ + i⁶ + ... + i⁹⁸ + i¹⁰⁰

4.2 Números complejos ( )

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