Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

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       Actividades resueltas

       1. Si z = 5 – 7i, w = – 7 + 6i, ¿cuánto es z – w?

      z – w = (5 – –7) + (–7 – 6)i = 12 – 13i

       2. Si (– 4 + 2i) – z = –3 + 2i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

      Si z = a + bi, se tiene:

      (–4 + 2i) – (a + bi) = –3 + 2i ⇒ (–4 – a) + (2 – b)i = –3 + 2i

      Igualando sus partes real e imaginaria se obtiene:

      • Parte real: –4 – a = –3 ⇒ a = –1

      • Parte imaginaria: 2 – b = 2 ⇒ b = 0

      Por lo tanto, z = –1.

       Nota histórica

      Si bien los números imaginarios eran conocidos desde el siglo XVI, no fue hasta principios del siglo XIX que se les dio validez a partir de su interpretación geométrica (plano de Argand). Esta interpretación fue dada casi simultáneamente por el matemático Carl F. Gauss (1777-1855) y dos aficionados a la matemática: un noruego de apellido Wessel (1745-1818) y un tenedor de libros parisino llamado Argand (1768-1822).

       3. Si z₁ = 3 + 2i, z₂ = 2 – i, z₃ = 5 + i, resuelve y representa las siguientes sustracciones: z₃ – z₂ y z₃ – z₁.

      z₃ – z₂ = (5 + i) – (2 – i)

      = 3 + 2i

      = z₁

      z₃ – z₁ = (5 + i) – (3 + 2i)

      = 2 – i

      = z₂

       Actividades

       1. Si z₁ = 6 – 4i, z₂ = –4i, z₃ = –3 + 2i, z₄ = 6 + 4i, calcula.

       2. Si z₁ = 3 – 4i, z₂ = –5 – 2i, z₃ = –2 – 6i, z₄ = –3 + 4i, calcula y luego representa en un plano de Argand lo siguiente.

       3. Verifica si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

      a) La sustracción entre un número complejo y su conjugado da como resultado un número real.

      b) La diferencia entre números complejos cumple la propiedad asociativa.

      c) El resultado de (1 – i) – (1 + i) – (–1 – i) es igual a 1.

       4. Observa el plano de Argand y luego resuelve.

       5. Resuelve.

      a) Si (3 – 5i) – z = 14 + 5i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

      b) Si w – (–6 + 13i) = 8 – 5i, ¿cuál debe ser el conjugado del número complejo w?

      c) Si z = a – (3 – b)i, w = 12 + (5 – 4b)i y además w – z = –5 – 4i, ¿cuáles son los valores de a y b?

       6. Demuestra las siguientes igualdades.

4.6 Multiplicación en

      La multiplicación entre dos números complejos z = a + bi, w = c + di se define por:

       z • w = (a + bi) • (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

       Propiedades de la multiplicación en

       En se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

      Clausura: si z, w , entonces z • w .

      Conmutativa: si z, w , entonces z • w = w • z.

      Neutro multiplicativo: z • 1 = 1 • z, = z ∀ z .

      Inverso multiplicativo: si z = a + bi ≠ 0, existe i tal que z • z^–1 = 1 = 1 + 0i.

      Asociativa: si z, w, u , entonces (z • w) • u = z • (w • u).

      La propiedad distributiva de la multiplicación respecto СКАЧАТЬ