Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения. Владимир Валентинович Трошин

Чтение книги онлайн.

      Многие математики занимались поисками дружественных чисел, хотя большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики. Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Абу-л-Хасан Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел: 17 296 и 18 416; 9 363 584 и 9 437 056. Восток дело тонкое и в Европе об этом узнали гораздо позже того, как сами нашли эти числа. Первым из западных математиков новую пару дружественных чисел нашел француз Пьер Ферма (1601-1665), потом обнаружили, что их упоминал в своем трактате марокканский ученый Ибн аль-Банна аль-Гарани (1256-1321). Через два года после Ферма еще одну пару нашел Рене Декарт. После Декарта великий Леонард Эйлер нашел свой критерий, с помощью которого смог пополнить множество дружественных чисел на несколько десятков. Пишу так расплывчато, потому что в разных источниках упоминается разное количество пар дружественных чисел найденных Эйлером.

      Указанные выше две пары дружественных чисел фактически не являются второй и третьей, по величине входящих в них чисел, так как многие гораздо меньшие пары дружественных чисел были пропущены и вторая пара по величине: 1184 и 1210, а пара 17 296 и 18 416 стоит в последовательности на восьмом месте. Пару дружественных чисел 1184 и 1210 пропустили Ферма, Декарт и Эйлер, а обнаружил ее в 1866 году 16-летний итальянский школьник – Никколо Паганини – полный тёзка великого скрипача. Школьник потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

      Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. В различных источниках называется разное количество найденных пар дружественных чисел, где-то называют 400, где-то 1100 пар, а в Википедии сказано, что на апрель 2016 года известно более миллиарда пар дружественных чисел. Среди них преобладают пары четных чисел, но встречаются и нечетные пары, например седьмая пара: 12 285 и 14 595. Пока не найдена четно-нечетная пара, и поэтому неизвестно, существует ли такая смешанная пара дружественных чисел. Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

      Критерий – разложение на множители

      На стыке теории чисел и геометрии рассмотрим так называемые фигурные числа. Это понятие было введено последователями Пифагора. Они представляли собой некое философско-религиозное сообщество, занимавшееся многими науками, в частности они изучали свойства чисел. Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел.

      Линейные числа – числа, не разлагающиеся на сомножители большие единицы, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, … .

      Плоские числа – числа, составные, представимые в виде произведения двух сомножителей больших единицы: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, … .

СКАЧАТЬ