Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения. Владимир Валентинович Трошин

Чтение книги онлайн.

      ***

      Гладким числом называется натуральное число, все простые делители которого малы. Поскольку понятие «делители малы» может быть истолковано произвольно, чаще всего гладким числом называют такое, чьи простые делители не превосходят 10 (то есть, фактически равны 2, 3, 5 или 7).

      Натуральное число называется M-гладким, если все его простые делители не превосходят M. Исходя из этого определения, можно говорить о 3-гладких, 5-гладких, 7-гладких и т. д. числах. Например, к 3-гладким числам относятся: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, ….Все они в разложении на простые множители имеют только два простых числа 2 и 3 в различных степенях. Число 5000 имеет следующее разложение на множители: 2³·5⁴. Поэтому 5000 – это 5-гладкое число, а также 6-гладкое число и так далее, но не 4-гладкое. В основном определении гладкого натурального числа, останавливаются на множителях 2, 3, 5 или 7, следовательно, это определение соответствует 7-гладкому числу. Последовательность таких чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, … . То есть, из натурального ряда чисел выбрасываются числа, кратные простым числам начиная от 11 и выше.

      ***

      Полнократное число – натуральное число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя. Эквивалентное определение: число, представимое в виде a²·b³, где a и b натуральные числа. Наименование придумано математиком Соломоном Голомбом. Когда мы подходим ближе к нашему времени уже можно четко понять, кто ввел в оборот те или иные числовые определения, история сохраняет имена первооткрывателей. Последовательность полнократных чисел: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, … .

      Из определения следует, что квадраты чисел и кубы чисел являются полнократными числами, так как вторым числом в определении может быть единица. Два наименьших последовательных полнократных числа – это 8 и 9. Согласно гипотезе Эрдёша, не существует трёх последовательных полнократных чисел. В связи с понятием полнократных чисел стали рассматривать разложение чисел не только в сумму и произведение других чисел, но ввели в рассмотрение разложение чисел в виде разности двух полнократных чисел. Именно введение разности в рассмотрение – главное значение этого класса чисел. Ведь до сих пор упоминалось сложение, умножение, деление, а о разности даже не заикались. Любое нечетное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов: (k+1)²-k²=k²+2k+1-k²=2k+1 – нечетное число. Аналогично представимо любое число кратное четырем: (k+2)²-k²=k²+4k+4-k²=4k+4. Но встал вопрос о представлении в виде разности двух полнократных чисел любого числа, кратного двум, но не кратного четырем. Например, 2=3³-5². Долго стоял вопрос с разложением числа 6, пока не доказали, что любое число допускает бесконечно много таких представлений. В частности, 6=25²·7³-463²=214 375-214 369. На русском языке литературы о полнократных числах нет, но спасает то, что в Википедии дается перевод статей на русский и можно почерпнуть информацию.

      ***

      Натуральное число называется необычным, если в его разложении на простые множители СКАЧАТЬ