Mechanik. Michael Schulz

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ Massenpunktsystemen können sich die einzelnen Massenpunkte nach wie vor relativ zueinander bewegen. Ein typisches Beispiel hierfür wären die Atome des fallenden Steines, die immer noch Schwingungsbewegungen relativ zueinander ausführen können. Tatsächlich sind aber diese Bewegungen im Vergleich zu den Abmessungen des Körpers oftmals von untergeordneter Bedeutung. In diesem Fall kann man das betreffende Objekt durch das Modell eines starren Körpers beschreiben. (Dieses Modell ist mit der endlichen Geschwindigkeit der Informationsausbreitung im Sinne der speziellen Relativitätstheorie nicht verträglich, aber diese Unverträglichkeit spielt für Geschwindigkeiten, die klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind, keine Rolle). In diesem Modell sind die Relativpositionen aller Massenpunkte zueinander unveränderlich. Damit kann das System nur noch globale Translations- und Rotationsbewegungen ausführen, während – sozusagen als äußeres Kennzeichen – die Form des betrachteten Objektes unverändert bleibt. Mit starren Körpern befassen wir uns im vorletzten Kapitel dieses Bandes.

Nehmen wir statt des Steines aber ein Stück Kunststoff (vgl. Abb. 1.2) und drücken wir mit einer Kraft F auf seine Oberfläche, so wird der Körper deformiert, und der gegenseitige Abstand der elementaren Massenpunkte dieses Körpers ändert sich. Wir werden in diesem Fall mit dem Modell des starren Körper keine gute Beschreibung des geschilderten Problems erreichen. Solche deformierbaren Körper, bei denen die Verformung nach Entlastung wieder zurückgeht, also eine elastische Deformation vorliegt, werden ebenfalls im Rahmen der Mechanik untersucht. Hier führt man anstelle der vielen Atome oder Moleküle ein deformierbares Kontinuum ein, das im Rahmen der Elastizitätstheorie behandelt wird. Diese Theorie war früher ein wesentlicher Bestandteil der klassischen Mechanik, wird aber heute eher als ein Kontinuumsgrenzfall der Festkörperphysik betrachtet.

Eine ähnliche Situation betrifft die Diskussion der Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen auf der Modellebene des kontinuierlichen Mediums. Diese als Hydro- und Aerodynamik bezeichneten Gebiete der klassischen Mechanik werden heute allgemein als kontinuierlicher Grenzfall der Physik der kondensierten Materie verstanden, zumal für eine konsistente Beschreibung von Flüssigkeiten und Gasen auch thermodynamische Relationen benötigt werden.

      Die mechanische Theorie von deformierbaren Festkörpern sowie von Flüssigkeiten und Gasen wird in dem vorliegenden Band nicht mehr betrachtet. Wir verweisen hier auf die umfangreich vorhandene Spezialliteratur.

1.7 Modellebenen der Theoretischen Mechanik

      Bei der obigen Vorstellung der einzelnen Kapitel dieses Bandes haben wir bereits verschiedene modellhafte Darstellungen des gleichen Körpers erwähnt. So ist es sinnvoll, die Erde bei der Betrachtung der Umlaufbewegung um die Sonne als Massenpunkt zu betrachten, bei der Beschreibung ihrer Rotationsbewegung um die eigene Achse aber als einen ausgedehnten starren Körper anzusehen. Beide Modelle versagen dagegen bei der Untersuchung von Gezeiteneffekten oder der Bewegung der Materie im Erdinneren, wo man auf kontinuumsmechanische Konzepte zurückgreifen muss.

      Ein ähnliches Beispiel für eine solche unterschiedliche Betrachtungsweise desselben Gegenstandes ist der fallende Körper aus Kunststoff. Solange wir uns für den zurückgelegten Weg des Schwerpunktes beim freien Fall interessieren, können wir den Körper als Massenpunkt betrachten. Interessieren wir uns für die Drehbewegung des Körpers während des Falles, dann können wir den Kunststoffkörper sehr gut als ein starres Objekt interpretieren. Wenn wir schließlich das Szenario des Aufschlags auf den Boden am Ende des freien Falls beschreiben wollen, dann müssen wir unser Objekt als einen deformierbaren Körper behandeln.

      Aus diesen zwei Beispielen können wir Folgendes lernen: Je nach physikalischer Fragestellung wird man ein anderes, dem Problem möglichst adäquates Modell wählen. Welches Modell für die Behandlung eines Problems geeignet ist, wird in vielen Fällen keine triviale Entscheidung sein. Obwohl im Rahmen der theoretischen Mechanik die Modellebenen ziemlich gut klassifiziert sind, dürfen wir nicht vergessen, dass die verwendeten Modelle oft über einen langen historischen Zeitraum etabliert wurden und sehr viel empirische Erfahrung in sich vereinen. Die Entscheidung darüber, welches Modell für ein Problem am besten geeignet ist, kann durch keinen Algorithmus abgenommen werden. Wir kennen zwar eine ganze Reihe von empirischen Regeln, welche die Auswahl eines sinnvollen Modells erleichtern, aber letztendlich entscheiden Intuition und Erfahrung über das verwendete Modell.

Hat man sich auf ein Modell festgelegt, dann kann dieses auf mathematische Gleichungen abgebildet werden, die systematisch gelöst werden müssen und zuletzt die entsprechenden Antworten auf das mit dem Modell verbundene Problem liefern. Der Vergleich dieser auf theoretisch-mathematischem Weg gewonnenen Resultate mit der physikalischen Realität liefert uns dann weitere Kriterien über den Nutzen des verwendeten Modells. Bei diesem Vergleich ist es wichtig, sich zu erinnern, dass das Modell eine Idealisierung und damit eine Approximation der physikalischen Realität darstellt.

1.8 Lösung von Gleichungen

      Mit der quantitativen Beschreibung des Modells durch mathematische Gleichungen sind wir an einem weiteren wichtigen Punkt angekommen, der typisch für die theoretische Beschreibung physikalischer Vorgänge ist. Wir wollen die hier auftretenden Probleme an einem einfachen Beispiel erläutern. Der zurückgelegte Weg beim freien Fall kann durch die Gl. (1.1) beschrieben werden.

      Wie kommt man nun auf diesen Ausdruck? Gewöhnlich verwendet man das zweite Newton’sche Grundgesetz

      (1.2)

      um die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluss einer Kraft zu bestimmen. Dabei bezeichnet m die träge Masse des Körpers, a seine Beschleunigung und F die auf ihn wirkende Kraft. Die Kraft beim freien Fall ist die Schwerkraft

      (1.3)

      mit der Erdbeschleunigung g, wobei die hier auftretende Masse m′ die schwere Masse ist. Die bisherige experimentelle Erfahrung liefert uns die Gleichheit beider Massen, m = m′.

      Bis zu diesem Punkt haben wir verschiedene, experimentell gesicherte Modellannahmen eingeführt: Wir haben die Masse des fallenden Körpers in einem Punkt vereinigt, das zweite Newton’sche Axiom als Grundlage der Bewegung herangezogen, die hierin auftretende Kraft durch den mathematischen Ausdruck für die Schwerkraft ersetzt und die Gleichheit von träger und schwerer Masse verwendet.

      Die resultierende Gleichung kann jetzt einer geeigneten mathematischen Behandlung unterzogen werden. Dazu orientiert man zunächst die Ortskoordinate x in Fallrichtung. Die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems oder allgemeiner einer geeigneten Darstellung des Problems ist eine rein mathematische Fragestellung. Sie dient dazu, möglichst einfache Gleichungen zu erhalten, ändert aber nicht den physikalischen Inhalt. Auch in einem anderen Koordinatensystem kann unser Problem gelöst werden, aber wahrscheinlich mit einem höheren mathematischen Aufwand.

      Als Ergebnis der Festlegung des Koordinatensystems erhalten wir eine eindimensionale Bewegungsgleichung

      (1.4)

      aus der wir zunächst wegen der sinnvollen Forderung m > 0 die Masse eliminieren können:

(1.5)

Das Ergebnis СКАЧАТЬ