Начертательная геометрия: конспект лекций. Ирина Сергеевна Козлова
Чтение книги онлайн.
Читать онлайн книгу Начертательная геометрия: конспект лекций - Ирина Сергеевна Козлова страница 6
Название: Начертательная геометрия: конспект лекций
Автор: Ирина Сергеевна Козлова
Жанр: Математика
isbn: 5-699-19332-4
isbn:
На самом деле, плоскости Р и Q, проецирующие прямые I и II на горизонтальную плоскость, параллельны, так как в каждой из этих плоскостей можно указать две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым второй плоскости, т. е. прямая I параллельна прямой II, и проектирующий луч Аа параллелен лучу Вb. Но две параллельные плоскости Р и Q пересекут горизонтальную плоскость. В результате этого образуются две параллельные прямые 1 и 2, т. е. горизонтальные проекции прямых I и II параллельны между собой.
Аналогично можно доказать, что и любые другие одноименные проекции обеих прямых также будут параллельны друг другу.
Верно и обратное утверждение: прямые параллельны, если на эпюре их одноименные проекции параллельны.
Если известно, что горизонтальные и фронтальные проекции прямых I и II параллельны, будет справедливо следующее: 1 || 2 и 1́|| 2́ (рис. 29).
В этом случае можно сказать, что плоскости РI и РII, проецирующие прямые I и II на горизонтальную плоскость, параллельны, так как в этих плоскостях можно указать по паре пересекающихся соответственно параллельных прямых (прямые 1 и 2 и проецирующие лучи). Аналогично плоскости QI и QII будут параллельны.
Прямая I находится в пересечении плоскостей РI и QI, а прямая II – в пересечении плоскостей РII QII. Отсюда получаем, что прямая I параллельна плоскости РII, потому что находится в плоскости, ей параллельной. Однако прямая I параллельна и плоскости QII. Поэтому прямая I параллельна линии пересечения плоскостей РII и QII, т. е. прямой II.
Доказательство обратного утверждения не имеет смысла для профильных прямых. Это объясняется тем, что тогда вместо двух плоскостей, проецирующих прямую на горизонтальную и фронтальную плоскости, существует только одна, дважды проецирующая плоскость (рис. 30).
Видно, что вне зависимости от расположения двух профильных прямых I и II в пространстве их горизонтальные и фронтальные проекции всегда параллельны (или сливаются).
Прямые будут являться скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются. Это вытекает из того, что возможны только три случая взаимного расположения прямых.
Для скрещивающихся прямых справедливы утверждения:
1) точки пересечения одноименных проекций на горизонтальной и фронтальной плоскостях не лежат на одном перпендикуляре к оси х (прямые I и II на рис. 31).
2) хотя бы в одной паре одноименные проекции не параллельны (прямые III и IV на рис. 31).
Рисунок 31 показывает проекции четырех прямых, любая пара из которых скрещивается.
Как и в рассмотренных ранее случаях, обратное утверждение для скрещивающихся прямых несправедливо при условии, что хотя бы одна из прямых является профильной.
5. Перпендикулярные прямые
Рассмотрим теорему: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций (или СКАЧАТЬ