Методы и средства обеспечения безопасности полета. В. Б. Живетин
Чтение книги онлайн.

Читать онлайн книгу Методы и средства обеспечения безопасности полета - В. Б. Живетин страница 17

СКАЧАТЬ уравнения (1.14). Если решение (1.17) получено численно, то для вычисления δn необходимо использовать третье уравнение из (1.14), поскольку численное дифференцирование δe приводит к появлению существенных погрешностей.

      Если коэффициенты уравнения (1.17) постоянны, то несложно получить его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение

      τDτkλ2 + (τD + τk) λ + [1 – (1 – γ)(1 + П*)] = 0,           (1.18)

      решения которого

      Если равенство (1.15) не выполняется, то в зависимости от величины и знака дискриминанта Δ корни λ1,2 будут вещественными или комплексными. Введем следующие обозначения:

      a = τD + τk; b = 4τDτk [1 – (1 – γ)(1 + П*)].

      Тогда А = a2 – b.

      Величина a, как правило, положительна. Она будет отрицательна, если одна из величин – τD или τk – отрицательна, и при этом τD + τk < 0. Это означает, что рассматривается процесс не с запаздывающим, а с опережающим аргументом. Например, выданные в кредит деньги возвращаются не после, а до выдачи кредита. Эти и аналогичные им случаи здесь не рассматриваются. Примем, что a > 0 всегда.

      Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения величин a2 и b дискриминант Δ может иметь разный знак.

      Рассмотрим следующие случаи.

      При a2 > b дискриминант Δ > 0, и оба корня уравнения (1.18) вещественны. В этом случае общее решение уравнения (1.17) имеет вид

      δe = exp(–at)[((c1 + c2)/2)exp(ct) + ((c1 c2)/2)exp(–ct)],          (1.20)

      где c =

=
. Постоянные c1 и c2 зависят от начальных данных δe0 и
и параметров системы следующим образом:

      Случай b = 0 соответствует равновесному состоянию рассматриваемой системы, при этом выполняется условие (1.15), Δ = a2 и λ12 = –a ± a, то есть λ1 = 0, λ2 = –2a. Тогда общее решение (1.20) запишется в виде

      δe = (c1 + c2) / 2+((c1 – c2) / 2)exp(–2at).

      Равновесное состояние δe = (c1 + c2) / 2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c1=c2. Если же c1 ≠ c2, то в силу того, что a > 0, данное состояние реализуется для больших значений t, при этом

      δe ≈ (c1+c2) / 2,          (1.21)

      а при t, стремящемся к бесконечности, условие δe=(c1+c2) / 2 соблюдается независимо от значений c1 и c2. Таким образом, состояние δe=(c1+c2) / 2 обладает устойчивостью финансового потока по отношению к начальным возмущениям (рис. 1.18).

      Рис. 1.18

      При этом независимо от того, какое из неравенств – δe(0) > (c1+c2) / 2 или δe(0) < (c1+c2) / 2 – имело место, с увеличением t соотношение (1.21) становится более точным.

      Поведение системы меняется при b ≠ 0. Если при этом условии a > 0 и c > 0, то для больших t, согласно (1.20), имеет место приближенная зависимость δe(t) ≈ ((c1+c2) / 2)exp[–(a – СКАЧАТЬ