Philosophie - Eine präzise first-principle Herleitung philosophischer Fundamente.. Thomas Weinreich

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СКАЧАТЬ bzw. mächtiger als eine andere unendliche Menge (wie die der natürlichen Zahlen) sein, als dass sie mehr verschiedene Elemente enthält, bzw. dass sie bestimmte Elemente enthält, welche die andere Menge nicht enthält. Sind es deswegen verschiedene Arten von Unendlichkeit? Nein. Es handelt sich in allen Fällen um Mengen ohne Ende, nur angewendet auf verschiedene (Arten) von Elementen. Nicht die Unendlichkeit ist anders oder größer, sondern die Zahl der unterschiedlichen Elemente ist anders. Vielleicht sind die unterschiedlichen Arten von Unendlichkeit in der Mathematik lediglich ein falscher Ausdruck, weil es eigentlich um (qualitativ) unterschiedliche Mengen geht, welche alle die Gemeinsamkeit haben unendlich zu sein.

      Eine Unendlichkeit kann nicht mehr Elemente enthalten als eine andere Unendlichkeit, denn beide enthalten unendlich viele Elemente. Dennoch kann eine Unendlichkeit andere Elemente enthalten als eine andere. So kann man zwei gleiche Unendlichkeiten nehmen und zu einer von beiden ein neues Element hinzufügen, dass in keiner enthalten war, und trotzdem enthält die eine Unendlichkeit dann nicht mehr Elemente, denn Unendlich + 1 ist immer noch Unendlich. Sie enthält jedoch mehr unterschiedliche Elemente. Das heißt die Menge bzw. Zahl der unterschiedlichen Elemente ist größer. Fügt man z.B. zu einer von zwei unendlichen Mengen von gleichen blauen Kugeln eine rote Kugel hinzu, so enthält diese Menge doppelt so viele Arten von Elementen, nämlich zwei statt einer. Es handelt sich nicht um eine größere oder andersartige Unendlichkeit, sondern nur um eine Unendlichkeit mit mehr Verschiedenheit (bezüglich ihrer Elemente). Die Menge der reellen Zahlen ist also nur insofern „größer“ als die Menge der natürlichen Zahlen, als dass sie auch unendlich lange Zahlenfolgen enthält. Beides sind jedoch unendlich große Mengen. Die Menge der endlichen Zahlen bzw. Zahlenfolgen ist unendlich, und die Menge der unendlichen Zahlen bzw. Zahlenfolgen ist unendlich. Aber auch unendlich + unendlich ist unendlich. Wenn die Menge der endlichen Zahlen unendlich viele Elemente (Zahlen) enthält, enthält die Menge der unendlichen Zahlen unendlich zur Potenz unendlich viele Elemente. Aber auch unendlich hoch unendlich ist nur unendlich.

      Was man aus Cantors Beweis schließen könnte ist, dass es mehr reelle Zahlen als unendlich gibt. Also dass es mehr unendliche Zahlen gibt, als in einer unendlichen Liste an unendlichen Zahlen enthalten ist. Denn es gibt von ihnen unendlich mal unendlich viele. Von in ihren Elementen verschiedenen Unendlichkeiten (verschiedene irrationale Zahlen) gibt es mehr als unendlich viele. Für jede Zahl bzw. Kombination gibt es unendlich viele weitere Zahlen bzw. Kombinationen (welche wieder jeweils unendlich viele weitere Zahlen besitzen). In unendlich vielen Listen wären also wahrscheinlich alle enthalten. Und diese unendlich vielen Listen könnten sich auch als eine Liste ausdrücken. So kann man jede neue unendliche Diagonalzahl einfach zu der Liste hinzufügen. Zwei oder mehr Unendlichkeiten sind natürlich mehr als eine Unendlichkeit. Fasst man sie jedoch zu einer Unendlichkeit zusammen (weil man Unendlichkeiten beliebig vervielfachen und zusammenlegen kann) (also zu den reellen Zahlen) ist sie nicht größer als eine andere Unendlichkeit (natürliche Zahlen). Sie enthält nur mehr verschiedene Elemente. Aber die Anzahl an Elementen bleibt unendlich. Kombinierte Unendlichkeiten (wie bei den reellen Zahlen) ergeben keine Unendlichkeit anderer Art. Dass die Menge der möglichen Unendlichkeiten größer als unendlich ist, bedeutet nur, dass man aus einer Unendlichkeit mehrere Unendlichkeiten machen kann. Und z.B. die unendliche Menge der natürlichen Zahlen ist nicht größer als die unendliche Menge der geraden Zahlen, da es nur eine unendliche Menge der natürlichen Zahlen gibt, und wenn man daraus eine weitere unendliche Menge wie die Menge der geraden Zahlen erzeugt, ist dies nicht mehr die Menge der natürlichen Zahlen. Eine irrationale Zahl hingegen ist eine unendliche Menge, und eine Variation davon ist immer noch eine irrationale Zahl.

      Betrachtet man Zahlen als Zahlenfolgen, gibt es von den natürlichen Zahlen unendlich viele, weil immer mehr Stellen hinzugefügt werden können. Reelle Zahl haben bereits unendlich viele Stellen. Von ihnen gibt es unendlich viele, weil die unendlich vielen Stellen variiert werden können. Verändert man immer nur eine Stelle, ergibt dies unendlich viele reelle Zahlen. Verändert man jedoch auch die anderen, immer noch unendlich vielen Stellen, ergeben sich unendlich viele mal unendlich viele Stellen. Es gibt also für jedes Element einer unendlichen Menge wieder eine unendliche Menge. Deswegen handelt es sich hier jedoch nicht um eine andere Art von Unendlichkeit, sondern schlicht um unendlich viele Unendlichkeiten. Unendlich viele unendliche Listen würden also Variationen von unendlichen Zahlenreihen bzw. alle reellen Zahlen enthalten. Eine natürliche Zahl oder eine unendliche Zahl an Unendlichkeiten sind natürlich mehr als eine Unendlichkeit, genau wie jede Zahl größer 1 eben mehr als 1 ist. Aber es ist keine andere Art von Unendlichkeit.

      Es gibt verschiedene unendliche (Vorkomma-) Zahlen bzw. Zahlenreihen, aber nur eine unendliche Menge bzw. nur eine Art von Unendlichkeit, nämlich eine Menge ohne Ende. So können verschiedene Zahlen gleich groß sein. Denn verschiedene unendliche (Vorkomma-) Zahlen sind alle „unendlich groß“. Diese verschiedenen Zahlen beschreiben alle eine unendliche Menge. Eine unendliche Zahl kann man jedoch auch als unendliche Folge an endlichen Zahlen verstehen. Als Zahlenfolgen beschreiben sie verschiedene unendliche Folgen an endlichen (immer größer werdenden) Zahlen (und damit Mengen). Da diese Folgen jedoch unendlich sind, beschreiben sie alle eine unendliche Menge. Eine Zahl mit unendlich vielen Nachkomma-Stellen beschreibt einen Zustand, der sich als unendliche Folge aus immer kleineren Zuständen auffassen lässt. Da die Zahlen immer kleiner werden, beschreiben diese Zahlen jedoch unterschiedliche endliche Mengen. Nun könnte man meinen, dass diese Mengen auch irgendwie unendlich sind, da sich ihr Ende aufgrund der immer kleineren Zustände nicht bestimmen lässt, und es ja gerade kein Ende der immer kleineren Zustände gibt. Den Punkt des Endes geben diese Zahlen jedoch selbst an. Definiert man die Zahlen anders, so scheint es mir, könnte man der gleichen Menge eine endliche Zahl als Begriff zuordnen. Denn auch jedes endliche Element könnte in der Wirklichkeit unendlich fein verzweigte Ränder aus immer kleineren Elementarteilchen haben.

      Bei dem Gedankenexperiment Hilberts Hotel soll in einem Hotel mit unendlich vielen, belegten Zimmern, für einen neuen Gast ein Zimmer frei gemacht, ohne dass ein anderer Gast zimmerlos wird. Dies erscheint unmöglich, da sich die Unendlichkeit der Räume und die Unendlichkeit der Gäste aufheben, also deckungsgleich sind. Aus einer Unendlichkeit lässt sich jedoch jede endliche Zahl (und auch jede Zahl weiterer Unendlichkeiten) „erzeugen“, in dem man die Zuordnung der Elemente einer unendlichen Menge anders definiert. So könnte man aus der unendlichen Menge an Zimmern eines für den neuen Gast „entnehmen“ und die übrige Menge bleibt immer noch unendlich und reicht damit für die bisherigen, unendlich vielen Gäste. Angewendet auf die physische Wirklichkeit bzw. angewendet auf ein System mit Zeit könnte das bedeuten, dass jeder Gast ein Zimmer weiter zieht, und so das erste Zimmer frei wird. So kann der Zielzustand jedoch nicht erreicht werden. Denn es ist nicht möglich, dass unendlich viele Gäste zugleich erfahren, dass sie umziehen müssen. Es gäbe also einen unendlichen Umzugsprozess, bei dem immer mindestens ein Gast zimmerlos ist, da er gerade umzieht. Die Zimmerlosigkeit des neuen Gastes wird also in einer unendlichen Kette verlagert über alle bisherigen Gäste. Das Gedankenexperiment ist also nur theoretisch gültig und vernachlässigt, dass man etwas Unendliches nicht in endlicher Zeit bewegen kann. Nimmt man dieses Umstand mit in die Theorie auf, dann ist das Gedankenexperiment auch theoretisch nicht möglich. Die Verschiebung einer unendlichen Menge, wie es für das Hinzufügen eines neuen Gastes nötig wäre, ist nicht in endlicher Zeit möglich. Der Zustand, dass ein neuen Gast ein Zimmer hat, ohne dass ein anderer zimmerlos ist, kann nicht erreicht werden, da er am Ende des unendlichen Prozesses läge.

8. Herkömmliches und Fortführendes: Bruch intuitiver Logik in der Mathematik

      Die Zahlenfolge 1+1+1+1+… entspricht in der Mathematik entweder der Unendlichkeit (als unendlich große Menge), oder –1/2. Es gibt mehrere solcher falsch erscheinenden Gleichsetzungen unendlicher Summen. Es scheint, als ob im Beweis ein Fehler in den angewandten mathematischen Regeln liegen muss. Die unendliche Summe aus 1-1+1-1+1… hat in der Mathematik entweder keine endliche Summe – oder aber 1/2. Betrachtet man die Summe als Prozess, bei dem man einen Schritt nach dem anderen rechnen muss, würde man immer zwischen 1 und 0 hin und her springen. Hier erscheint es vielleicht sinnvoll zu sagen, dass der Schnitt bei 1/2 liegt. Die unendliche Summe mit einem endlichen Wert gleichzusetzen scheint jedoch СКАЧАТЬ