Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним. Дэвид Дарлинг

Чтение книги онлайн.

      В 1961 году, когда Ричардсон опубликовал результаты своих исследований, мало кто обратил внимание на его удивительное открытие, сейчас называемое эффектом Ричардсона или парадоксом береговой линии. Но теперь оно видится нам важным вкладом в развитие удивительной новой области математики, которую Мандельброт, человек, прославивший ее, в итоге назвал “прекрасной, чертовски трудной и с каждым днем все более ценной”. В 1975 году Мандельброт придумал название для странных штуковин, ставших объектом изучения этой новой дисциплины: фракталы. Фрактал – это нечто (например, кривая или пространство), имеющее дробную размерность.

      Чтобы заслужить звание фрактала, фигуре нужно всего лишь иметь сложную структуру в любом масштабе, сколь бы крупным он ни был. Подавляющее большинство кривых и геометрических фигур в математике – не фракталы. Окружность, например, нельзя считать фракталом потому, что, если постепенно увеличивать часть составляющей ее кривой, она будет все больше и больше походить на прямую линию, после чего, сколько ее ни приближай, ничего нового уже не увидишь. Квадрат – тоже не фрактал. При увеличении его углы не меняют свою структуру, а все остальное выглядит как прямые линии. Чтобы быть фракталом, мало иметь сложную структуру в одной точке или даже во множестве (конечном множестве) точек; структура должна быть сложной во всех точках. То же касается и трехмерных фигур, и фигур более высоких размерностей. Сферы и кубы, например, – не фракталы. Но существует множество фигур различных размерностей, которые являются фракталами.

      Вернемся к береговой линии Великобритании. На карте малого масштаба показаны только самые крупные заливы, лагуны и полуострова. Но выйдите на пляж – и вы увидите более мелкие объекты: бухты, косы и так далее. Всмотритесь пристальнее, возьмите лупу или микроскоп, и вы различите совсем неприметные элементы – неровности каждого валуна на берегу. И так все дальше и дальше. В реальном мире приближать объект бесконечно невозможно. На уровне атомов и молекул (а возможно, и раньше) уже нет смысла говорить о более мелких деталях, влияющих на длину побережья, тем более что эта длина меняется каждую минуту из-за эрозии, отливов и приливов. И все же побережье Великобритании и очертания других островов и стран – достаточно близкий аналог фракталов, что объясняет, почему могут так различаться данные разных источников о длине пограничной линии. Глядя на карту Великобритании, не увидишь всей изрезанности побережья, которая становится очевидной, когда идешь по берегу пешком. Вот почему измеренная по карте береговая линия получается короче. А простая прогулка по пляжу не даст столь же точных результатов, как измерение линейкой или еще более прецизионным инструментом всех изгибов и неровностей каменистого берега, обводов валунов и прочих мелких деталей. При этом с увеличением точности измерений СКАЧАТЬ