Апология математики (сборник статей). В. А. Успенский

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ и поучительным для обеих сторон. Вот ещё пример такого полезного и поучительного диалога:

      Математик. Возьмём прямую линию и точку на ней. Существует ли на этой прямой точка, ближайшая к нашей точке и лежащая справа от неё?

      Гуманитарий. Да, существует.

      Математик. Вы не возражаете, если исходную точку мы обозначим буквой А, а ближайшую к ней справа буквой В?

      Гуманитарий. Не возражаю.

      Математик. Вы согласны с тем, что любые две различные точки можно соединить отрезком?

      Гуманитарий. Согласен.

      Математик. Значит, можно соединить точки А и В и получить отрезок АВ. Правильно?

      Гуманитарий. Правильно.

      Математик. А согласны ли вы с тем, что всякий отрезок имеет середину?

      Гуманитарий. Согласен.

      Математик. Значит, и у отрезка АВ есть середина. Но ведь эта середина явно ближе к точке А, чем точка В. Меж тем точка В – ближайшая к А. Как быть?

      (Гуманитарий не знает, что сказать.)

      Математик. Я лишь хотел обратить ваше внимание, что не могут одновременно быть истинными все три утверждения о существованиях: «Для всякого отрезка существует его середина», «Любые две различные точки можно соединить отрезком» и «Для точки на прямой линии существует ближайшая к ней точка справа».

      Надо признать, впрочем, что ответ «Да, существует» на вопрос о ближайшей точке даётся хотя и весьма часто, но всё же реже, чем приведённые выше ответы о сущности аксиомы о параллельных и открытии Лобачевского.

      Результатом диалога о ближайшей точке должно стать отнюдь не только уяснение гуманитарием того, что для данной точки не существует ближайшей к ней точки справа; несуществование такой точки – это, в конце концов, всего лишь математический факт. Не менее, а скорее даже более важным является уяснение математиком тех деталей психологии гуманитария, которая заставляет его считать, что такая точка существует.

      Дело в том, что представление о 'ближайшем' формируется у гуманитария (как и у всякого человека) не на основе изучения такого сложного образования, как континуум точек на прямой, а на основе наблюдений материальных предметов окружающего мира. Наблюдение же, скажем, окон дома или кресел в театральном зале не оставляет сомнений в наличии ближайшего справа окна или кресла. (Предвидя ехидное возражение мелочного педанта, прибавим: если только исходное окно или кресло не является крайним.)

      Из сказанного можно сделать такое заключение: наш пример с ближайшей точкой есть конкретное проявление некой общей трудности, имеющей философский характер. Трудность состоит в следующем. Математика изучает идеальные сущности (каковыми являются, в частности, точки), но обращается с ними, как если бы они были реальными предметами СКАЧАТЬ