Магия математики: Как найти x и зачем это нужно. Артур Бенджамин

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ 30 × 38? Сначала умножим 3 × 38, а в конце прибавим 0. То есть 3 × 38 = 90 + 24 = 114, поэтому 30 × 38 = 1140. А потом 2 × 38 = 60 + 16 = 76. В итоге

32 × 38 = 30 × 38 + 2 × 38 = 1140 + 76 = 1216

      Другой способ решить наш пример (особенно если одно из наших чисел заканчивается на 7, 8 или 9) – использовать метод вычитания. Начать следует с того, что 38 = 40 – 2, а значит,

38 × 32 = 40 × 32 – 2 × 32 = 1280 – 64 = 1216

      Сложность обоих методов – как сложения, так и вычитания – заключается в том, что они заставляют вас постоянно держать в голове большие числа (вроде 1140 или 1280), одновременно делая другие вычисления. Не самая простая задача. Мне больше по душе метод разложения на сомножители, особенно полезный всякий раз, когда одно из имеющихся у нас чисел является произведением двух однозначных чисел. В нашем примере это 32 – произведение 8 и 4. Следовательно,

38 × 32 = 38 × 8 × 4 = 304 × 4 = 1216

      Если же мы разложим 32 на 4 и 8, получим 38 × 4 × 8 = 152 × 8 = 1216, но я лично предпочитаю умножать двузначное число сначала на больший сомножитель, а промежуточный результат (обычно трехзначный) – на меньший.

Отступление

      Метод разложения отлично работает при умножении на 11 – хотя бы потому, что здесь есть один любопытный и при этом простой трюк: нужно просто сложить между собой цифры первого числа и поместить сумму в его середину. Для примера умножим 53 на 11: 5 + 3 = 8, значит, ответ будет 583. А вот 27 × 11 ÷ 2 + 7 = 9, в итоге получаем 297. А если сумма больше 9, берем последнюю цифру результата сложения, а первую цифру исходного числа увеличиваем на единицу. Например, 48 × 11 ÷ 4 + 8 = 12, значит, ответ будет 528. По аналогии: 74 × 11 = 814. Этот трюк работает и при умножении на числа, кратные 11, например,

74 × 33 = 74 × 11 × 3 = 814 × 3 = 2442

      Другой интересный метод – метод сближения. Его можно использовать, когда двузначные числа, которые вы перемножаете, начинаются с одной и той же цифры. Неискушенному наблюдателю он может показаться настоящим фокусом. Ведь разве можно просто взять и поверить, что

38 × 32 = (30 × 40) + (8 × 2) = 1200 + 16 = 1216

      Вычисления становятся элементарными, если последние цифры двух чисел дают в сумме 10 (как в нашем примере: оба числа начинаются с 3, а сумма их последних цифр – 8 и 2 – равна 10). Вот еще один пример:

83 × 87 = (80 × 90) + (3 × 7) = 7200 + 21 = 7221

      Но даже если вторые цифры не дадут в сумме 10, метод от этого не станет менее эффективным и эффектным, да и вычисления усложнятся не так уж и сильно. Чтобы умножить, например, 41 на 44, сначала надо уменьшить меньшее из них на единицу (чтобы работать с круглым числом 40) и, соответственно, увеличить на ту же единицу большее число:

41 × 44 = (40 × 45) +(1×4) = 1800 + 4 = 1804

      Для 34 × 37 отнимаем 4 у 34 (и остается 30) и отдаем их 37 (37 + 4 = 41), а потом прибавляем 4 × 7:

34 × 37 = (30 × 41) + (4 × 7) = 1230 + 28 = 1258

      Кстати, помните загадочный пример с 104 × 109? Там использовался тот же самый метод:

104 × 109 = (100 × 113) + (04 × 09) = 11 300 + 36 = 11 336

      В некоторых школах, кстати, учеников заставляют учить не привычную таблицу умножения, которая заканчивается 10, но расширенную до 20. Наш метод сводит эту необходимость на нет:

17 × 18 = (10 × 25) + (7 × 8) = 250 + 56 = 306

      Как же так получается, что эта штука работает, СКАЧАТЬ