Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

Чтение книги онлайн.

      Данное выражение совпадает с (П25). В этом случае стационарное решение (19) является устойчивым фокусом, а фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (рис. П2). Следовательно, число сотрудников Y₁ уменьшается.

      Но опять-таки из-за разновеликости β и µ неизбежно наступит момент, когда, начиная с некоторого значения Y₁, прирост капитала dY₂/dt из (18) окажется положительным. При этом причин для увольнения станет меньше (сотрудников останется настолько мало, что фирма сможет достойно оплачивать их труд). Как следствие, значение коэффициента γ понизится. Это приведет фирму снова к ситуации 1. Затем все повторяется.

      2.1.5. На рис. 2 показана «сшивка» эволюционных диаграмм двух описанных ситуаций. Линией с пониженной яркостью обозначены фазовые траектории переменных Y₁ и Y₂. Огибающие этих траекторий выделены.

      Как видно из рисунка, существует пороговое значение числа сотрудников Y₁*, при пересечении которого меняется направление движения системы по осям. В точке Y₁ = Y₁* действия спиралей устойчивого и неустойчивого фокусов взаимно уравновешиваются. Благодаря этому фазовая диаграмма в координатах Y₁ и Y₂ приобретает вид замкнутой траектории и соответствует устойчивому предельному циклу (см. рис. 19).

      Вывод о существовании здесь предельного цикла также следует из применения теоремы Пуанкаре − Бендиксона. Согласно этой теореме, если некоторая полутраектория остается внутри конечной области и не касается каких-либо особых точек, то эта полутраектория является предельным циклом, при этом внутренняя граница области может быть стянута в точку-источник (см., например, [19]). В рассматриваемой задаче неустойчивый фокус выступает в роли источника, а устойчивый фокус ограничивает систему сверху.

      Таким образом, фирма с течением времени стремится к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимального числа сотрудников Y₁* (рис. 3). Это оптимальное число сотрудников зависит от соотношения величин β и µ − соответственно коэффициента затрат на сотрудников и коэффициента, связанного с прибылью.

      Рис. 2.

      

      Рис. 3. Колебания числа сотрудников фирмы вокруг оптимального значения Y₁*

      2.1.6. Система уравнений (18) была записана в предположении, что коэффициент γ является постоянной величиной. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Как мы видели, в каждой из описанных ситуаций всегда наступал такой момент времени, когда γ изменялся. Этот факт явно указывает на зависимость данного коэффициента от времени. Однако СКАЧАТЬ