Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов
Чтение книги онлайн.

Читать онлайн книгу Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография - Виктор Иванович Шаповалов страница 5

СКАЧАТЬ с найдем, подставив y1 в (5):

      

      Воспользуемся (13):

      

      Здесь мы учли, что

      

      Найденное значение с подставим в (13):

      

      – частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) (y* возьмем из (9)):

      

(14)

      Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A1 и A2 на новые постоянные A и φ0 по формулам

      A1 = A sin φ0 и A2 = A cos φ0

      (легко увидеть, что 

). Тогда

      A1 cos δt + A2 sin δt = A (sin φ0 cos δt + cos φ0 sin δt) = A sin (δt + φ0).

      В результате (14) примет вид

      

(15)

      Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.

      Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго (a = const), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/γ, т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).

      Сравним (15) с известным законом колебательного движения

      x = A sin (ωt + φ0).

      Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:

      

      где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.

      

      Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы

      Глава 2

      Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем

      К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

      Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.

      Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.

      2.1. Анализ устойчивости СКАЧАТЬ