Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ href="#_5.jpg"/> и , например,  и , можно предсказать изменение . Таким образом, в начале следующего временного периода суммарная численность составляет .

      Введём несколько вспомогательных обозначений для упрощения восприятия математической модели. Пусть

 – размер популяции, измеренный в момент времени , тогда  это приращение или изменение численности между последовательными моментами времени.

      Ясно, что

, поэтому можно встретить подстрочный индекс  рядом с  приращение  оказывается разным. Тем не менее, этот индекс не редко пропускают.

      Теперь то, что нас в конечном итоге волнует, это понимание динамики популяции

. Но . Объединив константы вместе, обозначив за , модель стала гораздо проще: .

      Популяризаторы науки часто называют константу

, называется разностным уравнением, а второе, задающее , является его начальным условием.  С этими двумя уравнениями легко составить таблицу значений численности  с течением времени, как в таблице 1.1.

      Таблица 1.1. Рост популяции по простой модели

      Момент времени         Численность

      0                                          500

      1                                          (1. 07)500 = 535

      2                                          (1. 07)²500 = 572.45

      3                                          (1. 07)³500 ≈ 612.52

      …                                         …

      По закономерностям в таблице 1.1 легко перейти от рекуррентного соотношения для

 в явном виде: . На этой модели теперь легко предсказать численность популяции в любое время.

      Может показаться странным называть

 там не появляется. Однако уравнения  и  эквивалентны, поэтому любое из них разумно определять одним и тем же термином.

      Пример. Предположим, что система математического образования имеет очень жесткие ограничения на целевые цифры приёма в ВУЗы (что вполне реалистично на просторах СНГ), по которым каждый год выпускается 200 молодых специалистов и все сотрудники СКАЧАТЬ