Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried
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Название: Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Автор: J. Michael Fried

Издательство: John Wiley & Sons Limited

Жанр: Математика

Серия:

isbn: 9783527839100

isbn:

СКАЧАТЬ unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion. Diese Sichtweise liegt der Integraldefinition als Grenzwert Riemannscher Summen zugrunde.

      

Eine Riemannsche Summe zu einer gegebenen Funktion f colon upper I right-arrow double-struck upper R auf dem Intervall upper I equals left-bracket a comma b right-bracket subset-of double-struck upper R und einer Unterteilung in Teilintervalle left-bracket x Subscript i minus 1 Baseline comma x Subscript i Baseline right-bracket für 1 less-than-or-equal-to i less-than-or-equal-to n durch gegebene Punkte

a equals x 0 less-than x 1 less-than midline-horizontal-ellipsis less-than x Subscript n Baseline equals b

      ist eine Summe

upper S Subscript upper Z Baseline equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts f left-parenthesis x overbar Subscript i Baseline right-parenthesis left-parenthesis x Subscript i Baseline minus x Subscript i minus 1 Baseline right-parenthesis

      mit Zwischenpunkten x overbar Subscript i Baseline element-of left-bracket x Subscript i minus 1 Baseline comma x Subscript i Baseline right-bracket. Eine solche Unterteilung des Intervalls upper I in lauter Teilintervalle left-bracket x Subscript i minus 1 Baseline comma x Subscript i Baseline right-bracket wird Zerlegung von upper I genannt. Die Feinheit einer Zerlegung ist die maximale Länge x Subscript i Baseline minus x Subscript i minus 1 eines Teilintervalls der Zerlegung.

durch Rechtecksflächen

      

Es sei f colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R eine auf dem Intervall left-bracket a comma b right-bracket beschränkte Funktion mit StartAbsoluteValue f left-parenthesis x right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to upper M für alle a less-than-or-equal-to x less-than-or-equal-to b.

      Konvergieren für alle Folgen von Zerlegungen left-parenthesis upper Z Subscript n Baseline right-parenthesis mit limit Underscript n right-arrow infinity Endscripts parallel-to upper Z Subscript n Baseline parallel-to equals 0 und eine beliebige Auswahl von Zwischenpunkten die Riemannschen Summen upper S Subscript upper Z Sub Subscript n gegen einen gemeinsamen Grenzwert upper S, dann heißt f integrierbar auf [a,b], und die Zahl upper S heißt bestimmtes Integral über f im Intervall [a,b]. In Formeln:

integral Subscript a Superscript b Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis normal d x colon equals upper S equals limit Underscript parallel-to upper Z parallel-to right-arrow 0 Endscripts sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts f left-parenthesis x overbar Subscript i Baseline right-parenthesis left-parenthesis x Subscript i Baseline minus x Subscript i minus 1 Baseline right-parenthesis period

      Überraschend ist der Zusammenhang zwischen der Differentialrechnung und der zunächst rein geometrisch definierten Integralrechnung. Sie erhalten mit der Flächenberechnung gleichzeitig eine Umkehrung der Differentiation.

      Diese Tatsache heißt in der reellen Analysis der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

       Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erlaubt Ihnen, Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen und umgekehrt Stammfunktionen durch Integrale zu berechnen:

      Für jede auf einem Intervall upper I stetige Funktion f und jedes a element-of upper I gilt:

       Existenz von Stammfunktionen: Die Funktionmit ist eine Stammfunktion zu auf .

       Eindeutigkeit: Jede andere Stammfunktion zu hat die Form mit einer Konstanten .

       Integralberechnung: Ist eine beliebige Stammfunktion zu , so gilt für :

      Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung haben Sie also eine Methode, um entweder Flächen unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion f oder Stammfunktionen von f zu bestimmen, vorausgesetzt, Sie können das Integral über die Funktion СКАЧАТЬ