Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried
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Название: Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Автор: J. Michael Fried

Издательство: John Wiley & Sons Limited

Жанр: Математика

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isbn: 9783527839100

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СКАЧАТЬ Sie eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Begriffe und Ergebnisse der eindimensionalen Analysis, die in diesem Buch verwendet werden. In Hinblick auf die Stetigkeit gibt es noch einige weitere wichtige Begriffe aus der eindimensionalen Analysis, die auch im Mehrdimensionalen auftreten werden. Absolut grundlegend ist die Grenzwertbildung von Funktionswerten. Nicht nur Stetigkeit, sondern auch Ableitung und Integralrechnung beruhen darauf.

      

Eine Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R mit Definitionsbereich upper D left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n konvergiert in einem Punkt x overbar element-of double-struck upper R Superscript n gegen den Wert c element-of double-struck upper R, falls für jede Folge left-parenthesis x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis von Punkten x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis aus dem Definitionsbereich von f mit limit Underscript n right-arrow infinity Endscripts x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals x overbar die Folge der Funktionswerte left-parenthesis f left-parenthesis x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis right-parenthesis gegen c konvergiert:

limit Underscript n right-arrow infinity Endscripts f left-parenthesis x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals c

      Für den Grenzwert c der Funktion f schreibt man:

limit Underscript x right-arrow x overbar Endscripts f left-parenthesis x right-parenthesis equals c

      Bei Grenzwertuntersuchungen von Funktionen an einer Stelle x overbar element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis im Definitionsbereich von f gibt es prinzipiell drei verschiedene mögliche Resultate:

       Der Grenzwert existiert nicht.

       Der Grenzwert existiert, ist aber nicht der Funktionswert .

       Der Grenzwert existiert und ist der Funktionswert .

      Der letzte Fall ist besonders angenehm, die Funktion ist stetig im Punkt x overbar. Anschaulich können Sie sich dabei vorstellen, dass die Funktion an dieser Stelle, ohne abzusetzen, gezeichnet werden könnte. Allerdings ist diese anschauliche Beschreibung mit Vorsicht zu verwenden, denn sie beschreibt den Begriff der Stetigkeit im mathematischen Sinn nicht ausreichend deutlich.

      

Eine Funktion f colon upper D left-parenthesis f right-parenthesis right-arrow double-struck upper R mit upper D left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n heißt

      stetig im Punkt x overbar element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis, wenn für alle Folgen left-parenthesis x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis von Punkten x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis mit limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals x overbar gilt:

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts f left-parenthesis x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals f left-parenthesis x overbar right-parenthesis

      Ist f stetig in jedem Punkt x overbar element-of upper M subset-of-or-equal-to upper D left-parenthesis f right-parenthesis einer Teilmenge upper M, so heißt f stetig auf upper M.

      Zwei Beispiele: Die Funktion f colon double-struck upper R squared right-arrow double-struck upper R mit f left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis colon equals x 1 x 2 ist an jeder Stelle x overbar element-of double-struck upper R squared stetig. Um das zu zeigen, betrachten Sie eine beliebige Folge x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline element-of double-struck upper R squared mit

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals x overbar Subscript 1 Baseline und limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals x overbar Subscript 2 Baseline period

      Nach den Grenzwertrechenregeln aus Abschnitt »Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit« in Kapitel 1 ist

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline dot x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline dot limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline <a href=СКАЧАТЬ