Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

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      Corolario 2.11: Si x e y son ordinales, entonces, o x y, o y x, o y = x.

      Demostración :

      Supongamos que sean distintos. Entonces la Proposición 2.10 asegura que x y o y x. Ahora bien, como x e y están saturados y son distintos, aplicamos la Proposición 2.8, con lo que, o x y, o y x.

      Teorema 2.12: Si x es un ordinal e y x, entonces y es un ordinal. Demostración :

      Por ser x un ordinal, es saturado; y por tanto y x (Definición 2.5). Esto hace que E también conecte a y.

       Hemos de ver que y también es saturado :

      Por de pronto, E conecta a y, puesto que E conecta a x. Ahora bien, dado que E es transitiva en x, también será transitiva en y. Por consiguiente, si tomamos un elemento v £ y y un elemento u v, por la Propiedad transitiva de E, u y; es decir,

      Luego y está saturado. En virtud de la Definición 2.6, y es un ordinal.

      Definición 2.13: Representaremos la clase de los ordinales por

      Teorema 2.14: es una clase propia que es un ordinal. Demostración :

      El Corolario 2.11 y la Proposición 2.12 muestran que E conecta

      Tomemos un x arbitrario. Para cualquier elemento y x, será un ordinal en virtud del Teorema 2.12, en consecuencia y . Luego

      Con ello hemos probado que es saturado, y, por tanto, ordinal.

      Finalmente, si fuera conjunto, , lo que es absurdo en virtud de la Proposición 2.1.

      Teorema 2.15: Cada E-sección de O es un ordinal. Demostración :

      Consideremos x una .E-sección de con x ≠ . En virtud del Teorema 1.7, existe un v de manera que

      Como cada elemento de v es un ordinal,

      con lo que x = v es ordinal.

      Definición 2.16: Un número ordinal es un ordinal x ∈

      En otras palabras diremos que todos los ordinales son números ordinales salvo . La negación de este aserto consiste la paradoja de Burali- Forti. Históricamente fue la primera contradicción que se encontró a la Teoría de Conjuntos de Cantor. Si fuera un número ordinal, sería un elemento de , y ello conduce a que tendría elementos que no son números ordinales, en contra de la definición de . Además se violaría el Axioma de regularidad.

       Definición 2.17:

       Teorema 2.18:

       1º Si x e y son ordinales, entonces x ≤ y si y sólo si x ⊂ y

       2ºsi y sólo si x C y. Si x es un ordinal, entonces

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