Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer
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Название: Estructuras de álgebra multilineal

Автор: Joaquín Olivert Pellicer

Издательство: Bookwire

Жанр: Математика

Серия: Educació. Sèrie Materials

isbn: 9788437094168

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      Definición 1.3: Un orden es una una relación binaria que no posea la Propiedad simétrica y tenga al menos la Propiedad transitiva. Si además goza de las Propiedades reflexiva y antisimétrica, se dirá que es una relación de orden. (Véase Sección 4º del capítulo precedente).

      La formulación empleada es x y que representa (x, y) G TZ. En esta nueva notación, se expresa diciendo que “x está -relacionado con y“ o que “x precede a y“. Obsérvese además que si una relación binaria posee la Propiedad reflexiva, la asimétrica queda sustituida por la Propiedad antisimétrica.

      Teorema 1.4: Si image ordena bien a X, entonces image es transitiva y asimétrica.

      Demostración :

      Consideremos u,v image X, con (u,v),(v,u) image image. Por definición de par ordenado (Definición 3.7 del Capítulo 1),

image

      Ahora bien, debido a que u,v image {u v}, resulta que {u v} image X. Por consiguiente {u v} image X tiene un image-primer elemento z. Este z debe coincidir con u o con v, es decir que es falsa una de las proposiciones, a saber: (u,v) image image o (v,u) image image. Luego image posee la Propiedad asimétrica.

      Si image no fuera transitiva, habría elementos u, v, w de X que cumplirían (u, v) image image, (v, w) image image (w, u) image image, puesto que image conecta a X. Entonces el subconjunto {u} image {v} image {w} image X no tendría image-primer elemento, lo cual es contradictorio en los conjuntos bien ordenados.

      Definición 1.5: Y es una -sección de X si Y X y ordena bien a X de manera que para cada u, v tales que u image X, v image Y con u v se tenga que u £7.

      En otras palabras, diremos que, si un orden image ordena bien a un conjunto X, un subconjunto Y de X será una image-sección si ningún elemento de X ~ Y precede a los elementos de Y.

      Proposición 1.6: Si y ≠ , y cada elemento de y es una -sección de x, entonces y, y son -secciones de X.

       Demostración :

      Obsérvese que los elementos de image y o de image y pueden precederse unos a otros; pero ningún elemento de los complementarios x ~ image y o de x ~ image y precede a los elementos de las clases citadas. En consecuencia, image y y image y verifican las condiciones dadas en la Definición 1.5 para que sean image- secciones.

      Teorema 1.7: Si Y es una image-sección de X con Y ≠ X, entonces existe un v image X de manera que

image

      Demostración :

      Sea y es una image-sección de X que no coincide con X. Debido a que TZ ordena bien a X y X ~ Y X, la Definición 1.2 asegura que X ~ Y posee ft-primer elemento v. Si consideramos que u £ X con u v, résulta que u X ~Y. Con ello se ha probado que

image

      Tomemos u Y. Por ser Y image-sección, es falso que v u. Y como image ordena bien a X, uv. Esto prueba la inclusion contraria.

      El siguiente resultado es inmediato por lo que lo damos sin ningún comentario :

      Proposición 1.8: Dadas dos -secciones Y, Z de X, se verifica que Y Z ó Z Y.

      Definición 1.9: Consideremos dos órdenes , S. Se dice que una СКАЧАТЬ