Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

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      Si C es no vacía, tendrá un -primer elemento u, que verificará obviamente f(u) ≠ g(w). Supóngase que f(u) S g(u). Dado que Im g es una «S -sección de Y, f(u) Im g. (Recuérdese que no existen elementos fuera de las seciones que precedan a sus elementos). Luego existe un v X que verifique g(v) = f(u). Esto hace que g(v)Sg(u). Ahora bien, como y^-1 conserva el orden S-, resulta que vu. Pero u es el primer elemento de C en donde las aplicaciones difieren, lo que es una contradicción. Esto conduce a afirmar que C = 0, por lo tanto se cumple (1.12.1).

      Teorema 1.13: Si ordena bien a X y S ordena bien a Y, existe una única función f que conserva el orden - S, tal que def f = X ó Im f = Y.

       Demostración :

      La cuestión que plantea el enunciado de este teorema no es la existencia de aplicaciones de X en Y que conserven el orden -S, pues estas funciones son fáciles de definir debido a que X e Y están bien ordenados, y se puede aprovechar esta circunstancia para ello. Además se construyen de manera que sus dominios de definición sean -secciones, y sus imágenes S -secciones. Pero eso no asegura que sus dominios sean X y sus imágenes Y. Representemos por g las aplicaciones de este tipo. El teorema prueba que existe una única aplicación cuyo dominio es X o su imagen, Y.

      Definamos

      Esta relación binaria es una aplicación, ya que si existiesen dos aplicaciones g1, g2 con u def g1 ⋂def g2, el Teorema 1.12 asegura que g₁(u) = g2{u).

      Veamos que def f es una –sección e Im f es una S– sección :

      Esto es evidente debido a que def f es unión de -secciones de tipo def g e Im f es unión de «S-secciones Im g.

      Probemos que def f = X ó Im f = Y :

      Si no lo son, existe un - primer elemento it de X ~ def f y un -imprimer elemento v de Y ~ Im f. Entonces la función f ⋃ {(u, v)} también conserva el orden - S. Luego existe un g de manera que (u, v) g, y, por definición de f, se tiene que f.

      Podemos repetir el razonamiento hasta llegar a que def f = X ó Im f = Y.

      Corolario 1.14: Si H ordena bien a X y S ordena bien a Y, de manera que X sea un conjunto e Y una clase propia, existe una función f que conserva el orden -S de manera que def f = X. Demostración :

      Está claro que no se puede verificar que Im f = Y, ya que Im f es conjunto e Y clase propia. Esto hace que, según el Teorema 1.13, def f = X.

2.2 Ordinales y números ordinales

      Entre las clases bien ordenadas, la clase de los números ordinales es un ejemplo de ellas. En esta Sección nos dedicaremos a construir esta clase, y para ello definiremos el concepto de ordinal con sus propiedades más características.

      Empecemos introduciendo un nuevo axioma :

       VII Axioma de regularidad

       Si x ≠ 0, existe un elemento y x que verifica

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