Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega
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Название: Un curso de álgebra

Автор: Gabriel Navarro Ortega

Издательство: Bookwire

Жанр: Математика

Серия: Educació. Sèrie Materials

isbn: 9788491340294

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СКАЧАТЬ Un número natural p > 1 es primo si no se puede escribir como p = ab, con a, b > 1. Es decir, si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Observamos que si p es primo y n ∈ ℕ, entonces mcd(n, p) = 1 o p, pues mcd(n, p) es un divisor de p. Concluimos por tanto que o bien p divide a n o que p y n son coprimos.

      Teorema 1.14 (Euclides) Sean n, m ∈ ℤ no cero.

      (a) n y m son coprimos si y solo si existen u, v ∈ ℤ tales que un + vm = 1.

      (b) Supongamos que n y m son coprimos. Si z ∈ ℤ, entonces n divide mz si y solo si n divide a z.

      (c) Si p es primo, entonces p divide a nm si y solo si p divide a n o a m. En particular, si p divide a un producto de enteros n1 … nk, entonces p divide a algún ni.

      Demostración. Si n y m son coprimos, ya sabemos que existen u, v ∈ ℤ tales que un + vm = 1, por el teorema 1.13 (a). Recíprocamente, si un + vm = 1, y d divide a n y a m, por el ejercicio 1.1, d divide a un + vm = 1, y esto completa el apartado (a).

      En (b), supongamos que n divide a mz. Sabemos que 1 = un + vm para ciertos u, v ∈ ℤ, y que existe x ∈ ℤ tal que nx = mz. Ahora,

      z = unz + vmz = unz + vnx = (uz + vx)n,

      y deducimos que n divide a z. La otra implicación es obvia.

      Para probar el apartado (c), si suponemos que p divide a nm y que p no divide a n, tenemos que mcd(p, n) = 1, y aplicamos el apartado (b). La segunda parte del apartado (c) se prueba fácilmente por inducción sobre k. Image

      Teorema 1.15 (teorema fundamental de la aritmética) Si n > 1 es un entero, entonces n se escribe de forma única como

Image

      donde p1 < … < pk son primos, y a1, …, ak son números naturales no cero.

      Demostración. Primero probamos la unicidad. Si Image son dos expresiones como las del teorema, tenemos que p1 divide Image deducimos que p1 divide a cierto qi por el teorema 1.14 (c). Por tanto, p1 = qi, pues qi es primo. Por el mismo argumento, tenemos que q1 = pj para cierto j. Entonces qi = p1 ≤ pj = q1, por lo que deducimos que i = 1 y p1 = q1. Utilizamos el mismo argumento para n/p1.

      Para probar que cada n > 1 se escribe como producto de primos utilizamos inducción. Si n es primo, ya está. En caso, contrario, n = ab con a, b < n. Por inducción, a y b son producto de primos, y por tanto también lo es n. Image

      El conjunto de números racionales es

Image

      Suponemos que el lector está familiarizado con la suma y la multiplicación de números racionales, y sus propiedades más elementales. Por ejemplo, Image si y solo si ad = bc,

Image

      Es sencillo construir el conjunto de los números racionales a partir de los números enteros como clases de equivalencia. (En el problema 1.10, explicamos cómo hacer esta construcción).

      En la segunda parte de este libro, cuando desarrollemos la teoría de Galois, trabajaremos con el conjunto de números reales ℝ y el de los complejos ℂ. La construcción rigurosa de ℝ es uno de los hitos de la matemática del siglo XIX, pero esta es materia de nuestros colegas los analistas. Apenas utilizaremos propiedades de los números reales, más que aquellas que están directamente asociadas a su suma, multiplicación (ℝ es un cuerpo) y a los polinomios. Por ejemplo, dado 0 ≤ a ∈ ℝ y 0 < n ∈ ℕ supondremos que existe un único número real 0 ≤ b ∈ ℝ tal que bn = a. Este número b se escribe Image Un número real a ∈ ℝ es irracional si a ∉ ℚ. Como los ceros del polinomio xn − 1 son fundamentales en teoría de Galois, un poco de trigonometría también será necesaria.

      Recordamos que un entero n ∈ ℕ es un cuadrado si n = a2 para cierto a ∈ N.

      Teorema 1.16 Sean n, m ∈ ℕ no cero con mcd(n, m) = 1. Entonces Image si y solo si n y m son cuadrados.

      Demostración. Suponemos que Image, y probamos que n y m son cuadrados. Por ejemplo, probamos que n es un cuadrado. Sea p un primo y supongamos que pf es la mayor potencia de p que divide a n con f ≥ 1. Es suficiente con probar que f es par y luego utilizar el teorema fundamental de la aritmética. Por hipótesis, podemos escribir

Image

      donde a, b ∈ ℕ. Entonces

      b2n = a2m.

      Como n y m son coprimos, sabemos que p no divide a m. Por tanto, si pe es la mayor potencia de p que divide a b, tenemos que Image es la mayor potencia de p que divide a a2. Concluimos que 2e + f es par, y por tanto, también lo es f. Por el teorema fundamental de la aritmética, concluimos que n es un cuadrado. La implicación contraria es trivial. Image

      Como decimos, en la segunda parte del libro estaremos interesados en polinomios y en sus ráıces. Por ejemplo, ¿cuáles son los ceros del polinomio x8 − 1? Para contestar, necesitamos trabajar con números complejos y una cierta trigonometría.

      El cuerpo de los nú meros complejos ℂ se define formalmente como el conjunto ℝ2 = {(a, СКАЧАТЬ