Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer
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Название: Estructuras de álgebra multilineal

Автор: Joaquín Olivert Pellicer

Издательство: Bookwire

Жанр: Математика

Серия: Educació. Sèrie Materials

isbn: 9788437094168

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СКАЧАТЬ 2.1 permite asegurar que A es un conjunto.

      Definición 6.5: image

       Proposición 6.6:

       1º Si x e y son conjuntos, xy es también un conjunto.

       Dado A un conjunto, representaremos por 2A el conjunto {0,1}A Entonces existe una aplicación biyectiva entre image.

       Demostración :

      1º Tomemos f image image, luego f C x × y es conjunto. Esto hace que image, es decir que

image

      Pero el Teorema 2.7 asegura que image es un conjunto, puesto que x × y lo es. Entonces apliquemos el Teorema 2.1, y con ello afirmamos que xy es un conjunto.

      2º Sea B un subconjunto arbitrario de A (B image A). Por función característica de B se entiende una aplicación imageB : A →{0,1} definida por

image

      Con esta clase de funciones, definimos la aplicación

image

       Veamos que es biyectiva :

      Estudiemos en primer lugar la inyectividad de image Supoimage

      Esto hace que si b image B se tiene que imagec(b) = imageB(b) = 1, de donde b image C.

      Esto prueba que B image C.

      La inclusión contraria se prueba de la misma manera.

      Veamos la suprayectividad: Tomemos f : A→ {0,1}, y definimos B = f-1( 1). Evidentemente

image

      En lo sucesivo, representaremos el conjunto de partes de un conjunto x indistintamente por image o por 2X.

      Proposición 6.7:

image image image

       Demostración :

      Simple aplicación del Axioma de extensión y de las definiciones implicadas.

      En cuanto a las leyes de composición diremos que hay de dos tipos: internas y externas. Estas últimas también pueden ser reconocidas por acciones o transformaciones, si poseen propiedades específicas. Estudiemos en primer lugar las primeras :

      Definición 6.8: Una ley de composición interna definida en un conjunto C es una aplicación

image

      Es costumbre representar estas leyes por los símbolos -, •, + , etc. Así por ejemplo f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a * b, o f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a + b.

      Enunciamos a continuación a título de definiciones las propiedades más usuales que pueden tener estas leyes :

      Definición 6.9: Se dice que una ley de composición interna posee elemento neutro o elemento unidad e image C si

image

      Si sólo se verifica

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      se dirá que e es elemento neutro por la derecha; y si se cumple que

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       será el elemento neutro por la izquierda.

      Definición 6.10: Una ley de composición interna se dice que g.oza de la propiedad asociativa si

image

      Definición 6.11:Sea una ley de composición interna con elemento unidad e, definida en un conjunto C. Se dice que un elemento a image C posee elemento simétrico a' si

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      En el caso de que se verifique sólo

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      se dirá que a' es elemento simétrico de a por la derecha. Del mismo modo se define elemento simétrico por la izquierda.

      Definición 6.12: Una ley de composición interna definida en un conjunto C verifica de la propiedad conmutativa si

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      Definición 6.13: Dadas dos leyes de composición internas • definidas en un mismo conjunto C, se dice que la ley • posee la propiedad distributiva respecto a la ley * si para todo a,b,c G C se verifica

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