Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer
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Название: Estructuras de álgebra multilineal

Автор: Joaquín Olivert Pellicer

Издательство: Bookwire

Жанр: Математика

Серия: Educació. Sèrie Materials

isbn: 9788437094168

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СКАЧАТЬ 2.1: Si x es un conjunto y z image x, entonces z es un conjunto.

      Demostración :

      Tomemos un z image x. Al ser x conjunto, podemos aplicar el axioma III, con lo que existe un conjunto Y tal que z image Y. Esto hace que z sea un conjunto, en virtud de la Definición 1.2.

      Entonces se dirá que z es subconjunto de x.

      Corolario 2.2: image no es conjunto.

       Demostración :

      La clase de Russell R es subclase de image (falta por ver si coincide con image). Entonces R . Si image fuera conjunto, R sería conjunto. Y ello conduciría directamente a la paradoja de Russell. Luego image no es conjunto.

      Corolario 2.3: Si una de las clases x, y es un conjunto, x y es un conjunto.

      Demostración :

      Supongamos que x sea un conjunto. De la Definición 1.3, 2- y la Definición 1.14, tenemos que x y x. Entonces el Teorema 2.1 asegura que x y es un conjunto.

      Teorema 2.4: image.

       Demostración :

      image, resulta que x es un conjunto, y dado que image image x (Teorema 1.15), image sería un conjunto. Ahora bien, de la Definición 1.12,image, todo elemento de image image es elemento de image pero según vimos en el Teorema 1.10, image no tiene elementos, de lo que resulta que image image tampoco posee elementos. Por el Axioma de extensión,image y image image son iguales.

      En virtud del Teorema 1.15, image imageimage image

      Veamos la inclusión contraria: image, se tiene que x es un conjunto. Por el Axioma de subconjuntos, existe un conjunto y de manera que si z C x, entonces z G y. En particular x G y, y como y G U, por la Definición 1.12, 1a, x image image. Esto hace que image image image image. Finalmente apliquemos la Propiedad image.

      Teorema 2.5: Si , x es un conjunio.

       Demostración :

      Si image, existe un image. Luego y es un conjunto; pero como x y en virtud de la Propiedad image. Resulta del Teorema 2.1 que image x es un conjunto.

      Definición 2.6: Sea x una clase, llamaremos image a la clase formada por los subcon5juntos de x, es decir,

image

      Teorema 2.7: (Axioma de potencia) Si x es conjunto, es conjunto.

       Demostración :

      Tomemos z image image. Por definición de image, z x. En virtud del Axioma de subconjuntos, existe un conjunto Y tal que z Y. Entonces image image Y, de acuerdo con la Definición 1.14. Finalmente el Teorema 2.1 nos conduce a que image es conjunto.

      Cuando x es un conjunto, el conjunto image se le suele llamar el conjunto partes de x.

      Teorema 2.8: СКАЧАТЬ