Путешествие в квантовую механику. Игорь Мерзляков

Чтение книги онлайн.

      Если величины f_i (x_i) зависимы друг от друга, такое также нередко бывает, тогда прибегают к сложению зависимых функций вдоль координаты x_i, от которой определяется зависимость.

      Функции f_i (x_i) часто могут носить более сложный характер, нежели «степенная» функция. Часто эмпирическим методом невозможно вывести тот или иной закон. Тогда исследователи прибегают к составлению дифференциального уравнения в частных производных. Решение последних затруднено невысокой производительностью современных компьютеров и часто для таких целей используют суперкомпьютеры.

      Пришло время ознакомить читателя с третьим разделом этой книги, чтобы он имел представление о технических трудностях определения начальных условий в стационарном и нестационарном уравнениях Шредингера, так как начальные условия задаются комплексной величиной. Конечно, мной не ставится цель объяснить сразу суть уравнения, но в последующих главах мы разберём и это. Здесь продемонстрирован метод квазианалитического решения произвольно заданных дифференциальных уравнений в частных производных.

      Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

      В главе будет рассмотрен квазианалитический подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.

      Интерполяция рядами Фурье

      Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x на отрезке (0,R), где Δx есть шаг между линейными комбинациями F_k, а k – это номер вычислительной операции, k∈N, R – координата крайнего граничного условия, противоположно 0:

      Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F (x,y) на отрезках (kΔ x, (k+1) Δx) для x и (jΔy, (j+1) Δy) для y:

      Для трёхмерного случая x∈ (0,R_x), y∈ (0,R_y), z∈ (0,R_z), где: R_x, _Ry, _Rz – координаты граничных условий:

      Так для функций F (x,y,z), F (x,y), F (x) из выбранных систем координат на отрезках (hΔx_g, (h+1) Δx_g) где g – индекс координаты, а h – номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.

      Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

      Пусть Q∈C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a,b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического СКАЧАТЬ