Тайны чисел: Математическая одиссея. Маркус Сотой

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ велико. Чтобы записать его цифры в этой книге, понадобилось бы 3000 страниц. К счастью, небольшое математическое упражнение приводит к формуле, которая представляет это число значительно более кратким образом.

      Полное число рисинок с 1 по N-ю клетку доски включительно определяется выражением

R = 1 + 2 + 4 + 8 +… + 2^N – 2 + 2^{N – 1}.

      Прием для нахождения формулы для этого числа состоит в следующем. Перепишем R = 2R – R, данное преобразование настолько очевидно, что на первый взгляд кажется бесполезным. Каким же образом столь очевидное выражение может помочь в вычислении R? В математике часто оказывается полезным взглянуть на вещи с несколько иной перспективы, после чего они могут самым неожиданным образом поменять свой вид.

      Давайте сначала вычислим 2R. Это лишь означает удвоение всех слагаемых в большой сумме. Но смысл преобразования в том, что удвоение числа рисинок на одной из клеток приводит к числу рисинок на следующей клетке. Итак,

2R = 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2^N – 1 + 2^N.

      Следующий шаг состоит в вычитании R. Это выбьет из 2R все члены, кроме последнего:

R = 2R – R = (2 + 4 + 8 + 16 +… + 2^N – 1 + 2^N) –– (1 + 2 + 4 + 8 +… + 2^N – 2 + 2^N – 1) == (2 + 4 + 8 + 16 +… + 2^N – 1) ++ 2^N – 1 – (2 + 4 + 8+… + 2^N – 2 + 2^N – 1) == 2^N– 1.

      Итак, полное число рисинок с 1-й по N-ю клетки шахматной доски равно 2^N – 1, эта формула и отвечает за бьющие рекорд простые числа сегодняшнего дня. Удваивайте достаточное количество раз, затем отнимите 1, и вы можете надеяться, что наткнетесь на простое число Мерсенна. Так называются простые числа, полученные с помощью данной формулы. В ней нужно положить N = 43 112 609, и вы получите простое число Эдсона Смита с его 12 978 189 цифрами.

      Как драконова лапша пересекает Вселенную

      Рис – вовсе не единственная еда, которая связана с мощью удвоения для получения простых чисел. Драконова лапша, или лагман, традиционно приготавливается растягиванием теста руками с последующим складыванием, что приводит к удвоению длины. Каждый раз, когда тесто растягивается, лапша становится длиннее и тоньше, но необходимо работать стремительно, потому что тесто быстро высыхает и распадается в крошево.

      Повара по всей Азии соревнуются в удвоении длины лапши максимальное количество раз. В 2001 г. тайваньский повар Чанг Хан Ю сумел удвоить длину своего теста 14 раз за 2 минуты. В конце у него получилась настолько тонкая лапша, что она могла бы пройти сквозь игольное ушко. Могущество удвоения таково, что полученная лапша могла бы протянуться из ресторана господина Чанга в центре Тайбэя до окраины города. Когда она была нарезана, то получилось 16 384 куска лапши.

      Эта СКАЧАТЬ