Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие. Александр Анатольевич Казанский
Чтение книги онлайн.

Читать онлайн книгу Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие - Александр Анатольевич Казанский страница 20

СКАЧАТЬ А, В, С можно и при помощи других рассуждений. Например, найдем множество А. Для этого удалим из множества A ∪ B все элементы множества B ∪ C и получим множество {1, 2, 3}. Оно состоит из элементов множества А и не содержит тех элементов А, которые входят в пересечение А с В и А с С. Добавив эти элементы, мы и получим множество А = {1, 2, 3, 4, 5}.

      1.9. Дано универсальное множество U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и множества

      A = { 1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6, 7} C = {4, 6, 7, 8, 9}.

      Найти:

      (a) АС, ВС, СС;

      (b) A\B, B\A, A\C, B\C;

      (c) A

      B, A

      C, B

      C;

      (d) A ∪ (B ∩ C);

      (e) (A ∩ B)C;

      (f) (A ∪ B) ∩ (B ∩ C)C;

      (g) AС ∩ BC ∩ C.

      Вспомним, что:

      дополнение АС состоит из тех элементов универсального множества, которые не входят в А;

      разность множеств А\В состоит из тех элементов А, которые не принадлежат В;

      симметрическая разность A

      B состоит из тех элементов А или В, которые не входят в пересечение А и В.

      (a) АС = {5, 6, 7, 8, 9}; BC = {1, 2, 8, 9}; CC = {1, 2, 3, 5};

      (b) A\B = {1, 2}; B\A = {5, 6, 7}; A\C = {1, 2, 3}; B\C = {3, 5};

      (c) A

      B = {1, 2, 5, 6, 7}; A

      C = {1, 2, 6, 7, 8, 9}; B

      C = = {3, 5, 8, 9};

      (d) A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 6, 7};

      (e) (A ∩ B)C = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9};

      (f) (A ∪ B) ∩ (B ∩ C)C = {1, 2, 3, 5};

      (g) AC ∩ BC ∩ C = {8, 9}.

      1.10. Пусть

      S4 – множество всех положительных целых чисел, которые делятся без остатка на 4,

      S10 – множество всех положительных целых чисел, которые делятся без остатка на 10,

      S15 – множество всех положительных целых чисел, которые делятся без остатка на 15.

      Найти множество, которое будет их пересечением, т. е. множество S4 ∩ S10 ∩ S15.

      Наименьшее число множества пересечения можно найти простым перебором – оно должно делиться на каждое из чисел 4, 10 и 15. Запишем разложение на простые множители, для них 4 = 2 × 2, 10 = 2 × 5 и 15 = 3 × 5. Следовательно, в разложении этого наименьшего числа должны присутствовать числа 2, 3 и 5, их должно быть наименьшее количество, но при этом в разложении должны присутствовать все три пары 2 × 2, 2 × 5 и 3 × 5. Нетрудно написать такое разложение, это будет 2 × 2 × 3 × 5 = 60. Поэтому

      S4 ∩ S10 ∩ S15 = {60×k} = {60, 120, 180, …} и k = 1, 2, 3, …

      1.11. Показать, что для множеств А, В, С выполняется

      (А\В) ∩ (А\С) = А\(В ∪ С).

      Пусть A={1, 2, 3, 4, 7, 8}, B={4, 5, 6, 7}, C={6, 7, 8, 9}.

      Тогда A\B={1, 2, 3, 8}, A\C={1, 2, 3, 4} и их пересечение (А\В)∩(А\С)={1, 2, 3}. Затем найдем (B∪C)={4, 5, 6, 7, 8, 9} и А\(В∪С)={1, 2, 3}.

      1.12. Пусть А, В и С – целые числа. Тогда из равенства А – В = С, следует, что А = В + С. Можно ли иметь такое же соответствие для множеств? Если А, В и С множества и выполняется, что А\В = С, то верно и что СКАЧАТЬ