Bir Nefeste Matematik. Chris Waring
Чтение книги онлайн.
Читать онлайн книгу Bir Nefeste Matematik - Chris Waring страница 6
Название: Bir Nefeste Matematik
Автор: Chris Waring
Издательство: Maya Kitap
isbn: 978-605-7605-83-2
isbn:
6. Bölüm
BAYAĞI KESİRLER VE ASAL SAYILAR
Bir bayağı kesrin nasıl ondalık sayı olarak ifade edildiğini az önce öğrendik. Şimdi
Hemen bir döngünün gerçekleştiğini fark ediyoruz; on sayısında üç, üç kere vardır ve geriye bir kalır ve bu durum sonsuza dek tekrarlanır. Bu durumun görüldüğü ondalık sayılara tekrarlanan denir ve tekrar eden hanenin üstüne bir devir çizgisi ekleriz:
Durum yedide bir için çok daha ilginç bir hal alır:
Burada elimde tekrarlanan bir haneler dizisi bulunmaktadır. Bunu tüm dizinin üstüne bir devir çizgisi ekleyerek gösterebilirim:
Dahası paydası 7 olan diğer kesirler de benzer diziyi kullanır, yalnızca farklı başlangıç ve bitiş noktalarına sahiptir.
Canınız biraz daha zorlu bir şey çektiyse dokuzları bir deneyin!
Bir bayağı kesrin paydasına bakarak tekrarlayıp tekrarlanmayacağını söyleyebilirim. Paydayı alıp onun katlarını (10, 100, 100 vs.) elde etmek üzere herhangi bir şeyle çarpabilirim. Şayet yapabiliyorsam dönüştürdüğümde ondalık sütunlarda sorunsuzca yerleşmesini sağlayabilirim.
Bunu yapmadan önce denk kesirler adı verilen çok önemli bir matematiksel kavrama göz atmamız iyi olur. Buna göre aynı değere sahip farklı bayağı kesirler elde edebiliriz. Bunu anlamanın bir yolu konuyu pizza üzerinden somutlaştırmaktan geçer. Bir pizzayı iki kişi arasında yarıya bölerek paylaşabilir ve her birimiz de kendi yarımızı farklı sayıda dilimlere bölebilir ve yine de aynı miktarda pizzayı yiyebiliriz. Benzer biçimde hepimiz daha okul hayatımızın erken dönemlerinde bir yarımın iki çeyrek ve ayrıca üç bölü altı vesaire gibi kesirlerden oluştuğu düşüncesini kavramışızdır:
Bir matematik öğretmeni size, “Kesir çizgisinin üzerinde ne yapıyorsan altında da aynısını yap,” demiştir muhtemelen. Ancak yüksek ihtimalle söylemedikleri şey, bunun denkliği koruduğudur.
Bu, bana bayağı kesirleri ondalıklara çevirmek için bir başka yöntem sunar. Örneğin
İşlem tamam. Kafa yoracağım bir sonraki şey ise paydayı, onun kuvvetini elde edebilecek şekilde çarpıp çarpamayacağımı nereden anlayacağımdır.
Bunu sınamak için asal sayılar kavramını anlamanız gerekir. Bu sayılar çok uzun bir zamandır matematikçileri büyülemiştir. Kısa ve öz bir şekilde ifade etmek gerekirse bir asal sayı tam olarak iki çarpanı olan bir doğal sayıdır. Örneğin sekiz sayısı sırasıyla bir, iki, dört ve sekizin kendisine bölünebilir ve dolayısıyla dört çarpanı olduğundan asal bir sayı değildir. Beş ise iki çarpana sahiptir, bir ve beş; bu yüzden de bir asal sayıdır. Bir ise tek bir çarpana sahiptir, o da birin kendisidir; bu sebeple de asal sayı değildir. Bu yüzden de “sadece kendisine ve bire bölünen sayı” diye açıklanan saçmalığı unutun gitsin. En baştan başlayarak asal sayıların birkaçını şöyle sıralayabiliriz; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
Asal sayıların bu denli müthiş olmasının nedenlerinden biri aritmetiğin asal çarpanlara ayırma olarak adlandırılan kuramıdır. Bu kurama göre her bir doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir, ancak sadece bir şekilde. Örneğin:
Asal sayıların 30’u elde etmek üzere çarpımının bundan başka hiçbir birleşimi yoktur. İki, üç ve beş sayıları otuzun asal çarpanlarıdır. Bana göre bu durum asal sayıları matematiksel DNA yapar; her sayı eşsizdir ve sayılar arasında endişelenmemizi gerektiren ikizler ya da klonlar bulunmaz! Hatta 223.092.870 gibi çok büyük bir sayı bile asal sayılar ile sadece bir şekilde yazılabilir (bu da aslında 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23’e eşittir).
Peki, bu durumun bayağı kesirlerde bana nasıl bir faydası olur? Aslında daha önce bir bayağı kesrin sonlandırılması için paydasını on sayısının bir katına dönüştürebilmem gerektiğinden bahsetmiştim. On sayısının asal çarpanları şöyledir:
Yüz sayısının asal çarpanlarını elde etmek için ise şunu hatırlamak yeterlidir:
Böylece on sayısının asal çarpanları iki ile beş olur ve aynı şey yüz sayısı için de geçerlidir (sadece biraz fazla sayıda iki ve beş gerekir). Buradan on sayısının herhangi bir katının asal çarpanlarının sadece iki ve beş olduğunu anlayabiliriz. Bu yüzden şayet paydamın asal çarpanları herhangi bir şekilde ikiler ya da beşlerin birleşiminden oluşuyorsa o halde bunu on sayısının katını elde edebilecek şekilde çarpmanın da bir yolu vardır demektir. Yukarıda verdiğim bayağı kesir 250 gibi bir paydaya sahipti ve bu da şu şekilde yazılabilir:
Bu birleşim sadece ikiler ve beşlerden oluşmaktadır. Yukarıda bu sayıyı 1000’i elde edecek şekilde 2 × 2 olan dört ile çarpmıştım. Şayet payda 240 olsaydı:
olurdu. Bu sefer çarpım birleşiminde bir tane üç var. Yani en basit haliyle paydası 240 olan herhangi bir bayağı kesir tekrarlanacaktır. Örneğin:
Diğer yandan ise:
Bu bayağı kesir en basit haliyle artık iki ya da beşten başka bir paydaya sahip olamaz ve bu yüzden de sonlanır.
Hazır bayağı kesirler konusundayken aritmetik hesaplamalarını yeniden özetlemek yerinde olacaktır. Toplama ya da çıkarma yapmak için bayağı kesirleri aynı paydaya sahip olacak şekilde dönüştürmek gerekir. Bunu en etkili biçimde yapmak için de her iki paydanın da çarpanı olduğu en düşük sayıyı aramamız gerekir: en küçük ortak çarpan. Örneğin sekizde beş ile on ikide yediyi СКАЧАТЬ