Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf

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      Figura 1.6 Función exponencial natural.

      Para comprender mejor la utilización del número e en finanzas, pensemos en un ejemplo. Si un activo financiero tiene hoy un precio de 100 € y este crece al 5 % anual en forma continua (el 5 % se compone continuamente) dentro de un año su valor será:

      100e^0,05 = 105,127

Función logarítmica

      La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, ya que la función logarítmica invierte la acción de la función y viceversa. Si se calculó el valor de una función exponencial, por ejemplo, un monto a interés compuesto, para un dato de entrada x (tiempo) se obtuvo un resultado y (monto); en cambio, en la función logarítmica, el dato de entrada es el monto y se obtiene el exponente. Entonces, el logaritmo de un número es un exponente. Concretamente, es el de la potencia a la que se debe elevar la base (que cuando es el número e, se denomina logaritmo natural) para obtener el monto. Por ejemplo:

      Log_2,7182 8 = 2,079 porque 2,7182^2,079 = 8

      Entonces, para calcular el logaritmo de x en base b, se expresa y = Log_bx, y significa que b^y = x. De manera que el resultado y es la potencia a la que se debe elevar la base para obtener como resultado x.

      La función logarítmica invierte la función exponencial. En las figuras 1.7 y 1.8, se muestran las gráficas de la función exponencial del monto y = f(x) y su inversa logarítmica. Observe que en la función monto, para un tiempo dado, surge un monto, mientras que en la función logarítmica, para ese monto, hay como resultado el exponente correspondiente.

      Figura 1.7 Función exponencial.

      Figura 1.8 Función logarítmica.

Logaritmo natural

      Dados dos números reales y positivos n y b, se llama logaritmo del número n en base b al número x, siendo x el número al cual hay que elevar b para obtener n:

      log_b n = x si y solo si b^x = n

      Por ejemplo, log₂ 4 = 2 si y solo si 2² = 4.

      Hasta aquí estaríamos hablando de un logaritmo común, pero si consideramos que la base b es igual al número e —que describimos en la Sección 2.4—, entonces estaríamos en presencia de un logaritmo natural, o también denominado neperiano. Por ejemplo:

      Ln 10 = 2,302585 y e^2,302585 = 10

      La función y = ln(x) se define solo para x > 0 y aparece en la figura 1.9. Para obtenerla, se puede insertar cualquier valor x > 0 y obtener ln(x) usando una calculadora o una hoja de cálculo. Recuerde que no existe el logaritmo de un número negativo, en cambio, el logaritmo de cualquier número menor que 1 (uno) da un número negativo.

      Figura 1.9 Función logaritmo natural.

      Se puede observar en la figura 1.9 que:

      • Ln(x) < 0 para 0 < x < 1.

      • Ln(1) = 0 (que corresponde a la intersección con el eje x (1,0). Esto se entiende ya que habría que elevar a 0 (cero) la base para obtener 1 (uno).

      • Ln(x) > 0 para x > 1.

      Los números negativos y el 0 no tienen logaritmos. El ámbito son todos los números reales. Los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos, y conforme más cercano está el valor de x a cero, más negativo es su logaritmo. No existe ordenada en el origen.

Propiedades de los logaritmos

      1. Logaritmo de un producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

      log (a · b · c) = log a + log b + log c

      2. Logaritmo de un cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

      log (m : n) = log m − log n

      3. Logaritmo de una potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

      log aⁿ = n · log a

      4. Logaritmo de una raíz: es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

      En matemáticas financieras, es común utilizar logaritmos para despejar un exponente como es el tiempo n, por ejemplo, en las fórmulas del interés compuesto. Sea, por ejemplo, la función del monto a interés compuesto Co (1+i)ⁿ = Cn. Si despejamos n queda:

Derivadas

      La derivada de una función f se denota por f’ (se lee «f prima») y está definida por .

      Esta relación podemos representarla en un gráfico de la función monto a interés compuesto donde f’(x) es el interés de un infinitésimo de tiempo, cuando Dx representa una intervalo de tiempo muy pequeño, que tiende a cero.

      Figura 1.10 Función f(x).

      Entonces lo que interesa ver es el cambio que se produce en el valor de la función para un pequeñísimo cambio en x. Si se puede evaluar f’(x), se dice que f es diferenciable y a f’(x) se le denomina «derivada de f en x» o la «derivada de f con respecto a x». Tenga presente que dy/dx no se considera como un cociente sino como un diferencial; al proceso de determinar la derivada se le denomina diferenciación. Además de f’(x) otras notaciones para la derivada de y = f(x) en x, son dy/dx (que se lee “de y en de x” y también СКАЧАТЬ