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Dabei ist der Winkel zwischen dem Gradientenvektor und dem Richtungsvektor . Aus dieser einfachen Beziehung erhalten Sie eine interessante Schlussfolgerung:
Verwenden Sie normierte Richtungsvektoren mit Betrag , dann ist die Steigung in Richtung des Gradienten maximal und senkrecht zur Gradientenrichtung minimal, da in diesen Fällen der Winkel beziehungsweise ist. Die Steigung verschwindet auf jeden Fall dann, wenn der Richtungsvektor senkrecht auf dem Gradienten steht. In diesem Fall ist der Winkel und daher . In diese Richtung ist die Funktion also konstant. Sie erhalten damit eine nützliche und anschauliche Beziehung zwischen dem Gradienten einer Funktion und ihren Höhenlinien.
Der Gradient einer differenzierbaren Funktion steht senkrecht auf den Höhenlinien von .
Ein Beispiel: Die Funktion
hat als Höhenlinien konzentrische Kreise mit Radius
Ihr Gradient ist durch
gegeben. An jeder Stelle steht der Vektor senkrecht auf dem Kreis mit Radius .
Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung
Bei den reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen kennen Sie wahrscheinlich nicht nur einfache, sondern auch mehrfache Ableitungen: Die Ableitung einer solchen Funktion ist ihrerseits wieder eine reellwertige Funktion von einer Variablen, die Sie selbstverständlich auch auf Differenzierbarkeit untersuchen können. Falls die Ableitung der Ableitungsfunktion existiert, erhalten Sie damit die zweite Ableitung von .
So ähnlich können Sie auch höhere Ableitungen einer Funktion über die Ableitungen ihrer Ableitungen definieren.
In eine Richtung: Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Partielle Ableitungen höherer Ordnung erhalten Sie als die partiellen Ableitungen der partiellen Ableitungen, sofern diese existieren.
Für eine partiell differenzierbare reellwertige Funktion von Variablen heißen die partiellen Ableitungen Partielle Ableitungen 1. Ordnung von.
Partielle Ableitungen 2. Ordnung erhalten Sie aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung, indem Sie diese partiell differenzieren.
Für eine partiell differenzierbare reellwertige Funktion von Variablen mit ihrerseits partiell differenzierbaren partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind für die partiellen Ableitungen 2. Ordnung von durch
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