Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried
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Название: Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Автор: J. Michael Fried

Издательство: John Wiley & Sons Limited

Жанр: Математика

Серия:

isbn: 9783527839100

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СКАЧАТЬ f left-parenthesis x right-parenthesis almost-equals f left-parenthesis x overbar right-parenthesis plus a 1 left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus a 2 left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis plus ellipsis plus a Subscript n Baseline left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis period

      Wenn Sie a colon equals left-parenthesis a 1 comma a 2 comma ellipsis comma a Subscript n Baseline right-parenthesis Superscript down-tack, x und x overbar als Spaltenvektoren interpretieren, erhalten Sie die relativ einprägsame Regel:

f left-parenthesis x right-parenthesis almost-equals f left-parenthesis x overbar right-parenthesis plus a Superscript down-tack Baseline left-parenthesis x minus x overbar right-parenthesis period d f left-parenthesis x overbar right-parenthesis colon equals f left-parenthesis x right-parenthesis minus f left-parenthesis x overbar right-parenthesis minus epsilon 1 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis minus epsilon 2 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis minus ellipsis minus epsilon Subscript n Baseline left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis

      wird die obige Gleichung

StartLayout 1st Row 1st Column f left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis x overbar right-parenthesis 2nd Column plus 3rd Column a 1 left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus a 2 left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis plus ellipsis plus a Subscript n Baseline left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column plus 3rd Column epsilon 1 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus epsilon 2 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis plus ellipsis plus epsilon Subscript n Baseline left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis EndLayout

      oft auch etwas anders geschrieben:

d f left-parenthesis x overbar right-parenthesis equals f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis d x 1 plus f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis d x 2 plus ellipsis plus f Subscript x Sub Subscript n Subscript Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis d x Subscript n Baseline period

      

d f left-parenthesis x overbar right-parenthesis heißt der lineare Anteil des Zuwachses von f oder das totale Differential von f in x overbar.

      Praktische Berechnung der totalen Ableitung

      Die totale Ableitung einer reellwertigen Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R von n Variablen spielt die Rolle der üblichen Ableitung einer eindimensionalen Funktion. In der geometrischen Interpretation entspricht die totale Ableitung der Verallgemeinerung der gewöhnlichen eindimensionalen Ableitung auf mehrdimensionale Situationen. Eine weitere gemeinsame Eigenschaft finden Sie im Zusammenhang zwischen totaler Differenzierbarkeit und Stetigkeit.

       Ist eine Funktion f in x overbar element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis total differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt auch stetig.

      Im Umkehrschluss können Sie damit folgern, dass eine Funktion an einer Unstetigkeitsstelle nie total differenzierbar sein kann.

      Ähnlich wie die übliche Ableitung ist die totale Ableitung über einen Grenzwertprozess definiert. Die direkte Berechnung durch Grenzwertbildung ist allerdings in den meisten Fällen kompliziert und unnötig.

       Falls eine reellwertige Funktion f von n Variablen an einer Stelle x overbar element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis total differenzierbar ist, dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen f Subscript x Sub Subscript i Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis, und es gilt:

StartLayout 1st Row 1st Column f left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis x overbar right-parenthesis 2nd Column plus 3rd Column f Subscript x 1 Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus f Subscript x 2 Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column plus 3rd Column ellipsis plus f Subscript x Sub Subscript n Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis 3rd Row 1st Column Blank 2nd Column plus 3rd Column epsilon 1 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus epsilon 2 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis 4th Row 1st Column Blank 2nd Column plus 3rd Column ellipsis plus epsilon Subscript n Baseline left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis period EndLayout

      Dieser mathematische Satz stellt nicht nur sicher, dass eine total differenzierbare Funktion auch partielle Ableitungen besitzt, sondern Sie erhalten daraus auch eine einfache und praktische Berechnungsmethode für die totale Ableitung.