Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

Чтение книги онлайн.

      Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a_n+1 > a_n (a_n+1 < a_n). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

      Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a_n+1 ≤ a_n (a_n+1 ≥ a_n).

      Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

      Последовательность {a_n} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a_n – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

      Число А называется пределом последовательности {a_n}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a_n– A| < ε. Обозначение предела последовательности:

      Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

      Для подпоследовательностей справедливо:

      1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

      2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

      Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если

      10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

      Последовательность {а_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a_n ≤ M (a_n ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a_n}.

      Последовательность {а_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

      Теорема. Последовательность {а_n} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a_n| < r для всех n.

      Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

      Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

      Последовательность {а_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < ε.

      Последовательность {а_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < Р.

      Предел СКАЧАТЬ