Fundamentos teóricos de la música atonal. Hebert Vázquez
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Название: Fundamentos teóricos de la música atonal
Автор: Hebert Vázquez
Издательство: Bookwire
Жанр: Сделай Сам
isbn: 9786073042246
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EJEMPLO 45
Diagrama de conjuntos complementarios
Ya se comentó que no importa la cardinalidad de cada conjunto, por lo que S ≤ S, ó S > S.
2.13. Diferencia simétrica o suma booleana
Esta relación entre conjuntos se define en función de la unión, intersección y diferencia relativa. Si S y Q son dos conjuntos, entonces S ∆ Q = (S ∪ Q)- (S ∩ Q).
La diferencia simétrica indica que S ∆ Q es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a S o a Q, pero no a ambos (es decir, los elementos de S y Q que quedan fuera de la intersección entre ambos conjuntos).
El pasaje musical del ejemplo 46 hace un uso extenso de la diferencia simétrica.
EJEMPLO 46
DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS DE C.A. (HEBERT VÁZQUEZ, LAS NOSTÁLGICAS MUTACIONES DEL NÚCLEO, PARA GUITARRA AMPLIFICADA Y ORQUESTA: CC. 260-266)
Los conjuntos en los que están organizadas las clases de alturas del fragmento son α = {0,2,3,5,6,8,9,B}, β = {0,1,3,4,6,7,9,A}, y γ = {1,2,4,5,7,8,A,B}. Estos tres conjuntos de cardinalidad 8 poseen la misma estructura interválica, basada en la alternancia de intervalos 1 y 2 entre elementos contiguos. A este tipo de conjuntos se le conoce con el término genérico de colección octáfona y únicamente existen tres ejemplares diferentes de ellos, justamente los que hemos denominado α, β y γ. Un aspecto interesante de los tres conjuntos octáfonos es que α Δ β = γ; α Δ γ = β; y β Δ γ = α. Esto quiere decir que la diferencia simétrica entre dos conjuntos octáfonos cualesquiera será siempre igual al tercer conjunto octáfono faltante, como podrá comprobar el lector.
El material generador del ejemplo 46 es la línea melódica que inicia en los violines primeros y lleva a cabo un relevo instrumental en la guitarra para regresar a los mismos violines en los últimos dos compases. Se puede apreciar que dicha melodía está conformada exclusivamente por conjuntos α, β y γ en sucesión ininterrumpida (en realidad, la mayor parte son subconjuntos de α, β y γ, ya que su cardinalidad es menor a 8). El resto de las c.a. del fragmento, que se organizan en diversos grupos instrumentales, son generadas a partir de la diferencia simétrica entre los conjuntos adyacentes de esta melodía principal. Así, el grupo constituido por los violines segundos, las violas y los chelos se encuentra asociado a los violines primeros, y sus c.a. son definidas por la diferencia simétrica entre los conjuntos contiguos de estos últimos. En los dos primeros compases, por ejemplo, la línea de los violines primeros se compone de β seguido de γ, de manera que es precisamente la diferencia simétrica entre estos dos conjuntos la que establece las c.a. de los violines segundos, las violas y los chelos (ver ejemplo 46). De hecho, el trazo melódico de estos instrumentos podría ser continuo, como el de los violines primeros, pero en lugar de esto todos ellos presentan silencios en los puntos en que se localizan las c.a. de los violines primeros, que pertenecen a la intersección entre β y γ, es decir, en las c.a. 1, 4, 7 y A. Lo anterior se debe a que estas c.a., al quedar excluidas por definición de la relación β Δ γ (no olvidemos que β Δ γ = (β ∪ γ) - (β ∩ γ), son incapaces de ser decodificadas por los violines segundos, las violas y los chelos, para producir sus propias notas. Lo mismo sucede con el clarinete y el fagot, cuyo contenido de c.a., así como su rítmica común, se derivan de la diferencia simétrica entre los conjuntos adyacentes de la guitarra, a la que acompañan.
El código armónico que establece las clases de alturas de los instrumentos acompañantes es el que se muestra en las tablas del ejemplo 47.17
EJEMPLO 47.
Código armónico del pasaje correspondiente al ejemplo 46
Cada tabla posee ocho columnas de tres c.a. cada una; siempre nos referiremos a estas columnas numerándolas de izquierda a derecha. La c.a. ubicada en el extremo superior de cada columna pertenecerá invariablemente a la línea generadora y las dos restantes a los instrumentos que la acompañan. Tomemos como ejemplo la línea generadora de la guitarra, que inicia en el tercer compás del ejemplo 46: sus dos primeros compases están conformados por el conjunto g seguido de a. Por lo tanto, las c.a. del clarinete y el fagot, que la acompañan, son obtenidas de la relación α Δ γ, que es la que corresponde a la tabla 3. En la partitura, la guitarra inicia con la c.a. 1, que en la tabla 3 se encuentra como nota superior de la segunda columna, acompañada por las c.a. 9 y 4, que son tocadas por el clarinete y el fagot, respectivamente. La guitarra procede, entonces, con la c.a. 4, que ubicamos como nota superior de la cuarta columna, acompañada por la c.a. 6 en el clarinete y la c.a. 7 en el fagot. La tercera nota de la guitarra es la c.a. 2, pero dado que 2 ∉ (α Δ γ), el clarinete y el fagot, incapaces de decodificarla, la sustituyen por un silencio de dieciseisavo. Y así, podemos seguir con la lectura de la partitura. De esta manera, el código de las tres tablas no se limita a la generación de contenido armónico, sino que igualmente extrae variantes rítmicas de la línea continua original, al imponer silencios en los instrumentos que la acompañan.
Hay un último ingrediente del código armónico que fue concebido para otorgar mayor plasticidad al discurso musical. Se trata de una regla que establece que toda nota que aparezca por segunda ocasión en una línea melódica generadora, dentro de un pasaje continuo definido por la misma diferencia simétrica, será decodificada por un nuevo grupo instrumental en forma de notas tenidas asociadas a un crescendo. Tal es el caso de la c.a. 7, que es emitida dos veces por la guitarra en el quinto compás del ejemplo 46. En ese momento, las c.a. del clarinete y el fagot se encuentran bajo el dominio de α ∆ β, cuyo código armónico es generado por la tabla 2. De esta manera, la primera c.a. 7 de la guitarra es acompañada por la c.a. 5 del clarinete y A del fagot, de acuerdo con lo estipulado en la quinta columna de dicha tabla. Pero al ejecutar la guitarra su segunda c.a. 7, las c.a. 5 y A del acompañamiento (que ahora incorpora también a la propia c.a. 7) son transferidas a la flauta (c.a. 7), el oboe (c.a. 5), el corno (c.a. A) y los contrabajos (c.a. 7), y asociadas con una duración de cinco dieciseisavos y un crescendo de piano a mezzoforte (salvo en el caso de los contrabajos, cuya dinámica es de mezzoforte).
El código armónico-rítmico-instrumental estudiado en el pasaje del ejemplo 46 se extiende a lo largo de 25 compases, en los que sigue estando definido por los conjuntos octáfonos y sus diferencias simétricas (que también son conjuntos octáfonos, como ya vimos). Esto le confiere a la música una sonoridad característica.
EJEMPLO 48
Diagrama de la relación S ∆ Q