Введение в финансовую математику. Георгий Димитриади
Чтение книги онлайн.

Читать онлайн книгу Введение в финансовую математику - Георгий Димитриади страница 3

СКАЧАТЬ когда начисление происходит чаще. Пусть оно происходит m раз в год, где m – натуральное число. Например, начисление может происходить ежемесячно (m = 12).

      Для сложных процентов с начислением один раз в год была получена формула:

      S = P (1 + i)n .

      Теперь мысленно предположим, что в рассуждениях, из которых была выведена эта формула, период времени «год» будет заменен на период времени «1/m года» или «m-ая доля года». Поскольку все рассуждения останутся в силе, получим формулу:

      где if – процентная ставка за «m-ую часть года», nf – срок, отраженный в «m-ых частях года» (а не в годах, как ранее). Для того, чтобы вернуться к используемым ранее обозначениям выразим if и nf через годовые переменные:

      if = i / m, nf = mn.

      Последнее соотношение легко интерпретируемо: при сроке n лет количество периодов размером «1/m года» равно mn.

      Тогда с использованием годовой процентной ставки итоговую формулу расчета наращенной суммы с использованием сложных процентов с начислением m раз в год можно записать как:

      S = P (1 + i / m)mn .

      Поскольку, как было выяснено, формула сложных процентов с начислением m раз в год верна и для нецелого числа лет n, то и полученная формула верна для нецелого n. Более того, можно показать, что она остается верной и для нецелого m.

      Отметим, что всегда предполагается, что сложные проценты начисляются один раз в год, если не указано противное.

      Дня того, чтобы продемонстрировать зависимость наращенной суммы от количества начислений m раз в год, сведем в Таблицы 2 и 3 результаты расчетов при Р = 100 руб. и ставке i = 10% в Таблице 2 и ставке i = 25% в Таблице 3.

      Дискретное и непрерывное начисление процентов

      Зададимся вопросом: как изменится формула начисления процентов, если увеличивать количество m начислений процентов в год.

      Например, сначала предполагать, что m = 12, затем 24, 365 (ежедневное начисление), 365*24 (ежечасное) и др. При m, стремящемся к бесконечности, получим непрерывные проценты (проценты с непрерывным начислением):

      Сделаем замену z = m / i.

      Вспомним, что замечательный предел внутри скобок равен e. Тогда:

      S = Peni.

      Обычно годовую ставку начисления непрерывных процентов обозначают δ. Итоговая формула непрерывных процентов выглядит как:

      Конец ознакомительного фрагмента.

      Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

      Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

      Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам СКАЧАТЬ