ЧУДЕСА АРИФМЕТИКИ ОТ ПЬЕРА СИМОНА ДЕ ФЕРМА. Юрий Вениаминович Красков

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ математик того времени Джон Валлис (John Wallis), то он был очень сильно раздосадован и вынужден признать, что не может это сделать. Более двух веков считалось, что решение этой задачи получил Леонард Эйлер, но его доказательство основано на применении «комплексных чисел», а мы-то знаем, что это вовсе не числа, т.к. они не подчиняются основной теореме арифметики.

      И только в конце ХХ века Андрé Вейль (André Weil) с помощью метода треугольников Ферма, всё-таки сумел получить доказательство [10]. Это был большой прогресс, т.к. здесь использован чисто арифметический метод, однако применительно к данной задаче он явно был притянут за уши. Мог ли Ферма решить эту задачу проще? Ответ на этот вопрос мы также извлечём из тайника, что позволит нам раскрыть и эту тайну науки в виде следующей реконструкции.

      Итак, мы имеем уравнение p³ = q² + 2 с очевидным решением p=3, q=5. Для доказательства утверждения Ферма, предположим, что существует ещё одно решение

      P > p=3, Q > q=5, которое удовлетворяет уравнению

      P³ = Q² + 2 (1)

      Поскольку очевидно, что Q>P, то пусть

      Q = P + δ (2)

      Подставляя (2) в (1), получим:

      P²(P–1)–2δP–δ²=2 (3)

      Здесь нам потребуется самая малость «остроты ума», чтобы заметить, что δ>P, иначе уравнение (3) невыполнимо. Действительно, если сделать пробу δ=P, то слева (3) будет P²(P–4)>2, что не подходит, следовательно, должно существовать число δ₁=δ–P. Тогда, подставляя δ=P+δ₁ в (3), получим

      P²(P–4)–4δ₁P–δ₁² = 2 (4)

      Теперь-то мы непременно заметим, что δ₁>P, иначе по той же логике, что и выше, слева (4) мы получим P²(P–9)>2, что опять-таки не подходит, тогда, должно существовать число δ₂=δ₁–P, и подставляя δ₁=P+δ₂ в (4), получим

      P²(P–9)–6δ₂P–δ₂² = 2 (5)

      Вот здесь-то уже можно совсем не сомневаться, что так будет продолжаться без конца и края. Действительно, путем проб δ_i=P каждый раз мы получаем P²(P−K_i)>2. Каким бы ни было число K_i, это уравнение невыполнимо, поскольку если K_i<P и P>3, то P²(P−K_i)>2, а если K_i≥P, то такой вариант исключается, т.к. тогда P²(P−K_i)≤0.

      Продолжать так бесконечно явно бессмысленно, следовательно, наше начальное предположение о существовании других решений P>3, Q>5 неверно и эта теорема Ферма доказана.

      В часто упоминаемой нами книге Сингха эта задача приводится как пример «головоломок», которые «придумывал» Ферма. Но теперь выясняется, что универсальный метод спуска и простой приём с пробами приравненных чисел делают эту задачу одним из очень эффективных примеров для обучения в школе.

      Имея это доказательство, школьники без труда смогут доказать ещё одну теорему из письма-завещания Ферма, которую в своё время мог решить только такой знаменитый на весь мир учёный, как Леонард Эйлер:

      Существуют только два целочисленных квадрата, которые, увеличенные на 4, дают кубы, эти квадраты будут 4 и 121.

      Иными словами, уравнение p³ = q² + 4 имеет только два решения в целых числах.

СКАЧАТЬ