Квантовые вычисления со времен Демокрита. Скотт Ааронсон

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ одну полноценную модель. При этом, как только вы добавите к модели одно такое целое число, вам придется добавить их бесконечно много, поскольку у каждого целого числа должно быть число, непосредственно за ним следующее.

      Кажется, что, записывая эти аксиомы, мы занимаемся бессмысленной казуистикой, – и в самом деле, здесь возникает очевидная проблема курицы и яйца. Как можем мы формулировать аксиомы, которые подведут под целые числа более прочный фундамент, если сами символы и вообще все, что мы используем для записи этих аксиом, подразумевает, что мы уже знаем, что такое целые числа?

      Так вот, именно поэтому я и не считаю, что аксиомы и формальную логику можно использовать для подведения под арифметику более надежного фундамента. Если вы почему-то не согласны с тем, что 1 + 1 = 2, то сколько ни изучай математическую логику, понятнее это не станет! Тем не менее все эти штучки безумно интересны не менее чем по трем причинам.

      1. Ситуация изменится, как только мы начнем говорить не о целых числах, а о разных размерах бесконечности. Там формулирование аксиом и разбор следствий из них – это практически все наши инструменты!

      2. Как только мы все формализовали, можно запрограммировать компьютер и заставить его думать за нас:

      предположение 1: для любого x если A (x) истинно, то B (x) истинно;

      предположение 2: существует x такой, что A (x) истинно;

      вывод: существует x такой, что B (x) истинно.

      В общем, идею вы поняли. Суть в том, что вывод из предположений извлекается посредством чисто синтаксической операции и не требует понимания того, что, собственно, означают все эти высказывания.

      3. Помимо того что доказательства для нас будет искать компьютер, мы сможем работать с этими доказательствами как с математическими объектами, что откроет путь к мета-математике.

      В общем, хватит ходить вокруг да около. Посмотрим кое-какие аксиомы теории множеств. Я сформулирую их на обычном языке; перевод на язык логики первого порядка в большинстве случаев достается читателю в качестве упражнения.

      Аксиомы теории множеств

      В этих аксиомах фигурирует совокупность объектов, называемых «множествами», и отношения между множествами, которые характеризуются словами «является элементом», «содержится в» или «принадлежит к» и записываются с использованием символа ∈. Любая операция с множествами в конечном итоге определяется в терминах отношения принадлежности.

      • Пустое множество: существует пустое множество, то есть множество x, для которого не существует такого y, что y ∈ x.

      • Аксиома объемности: если в два множества входят одни и те же члены, то эти множества равны. То есть для любых x и y если (z ∈ x тогда и только тогда, когда z ∈ y для любого z), то x = y.

      • Аксиома пары: для любых множеств x и y существует множество z = {x, y}, то есть множество z, такое, что для любого w w ∈ z тогда и только тогда, когда (w = x или w = y).

      • Аксиома суммы: для любых множеств x существует СКАЧАТЬ