Все науки. №1, 2023. Международный научный журнал. Ибратжон Хатамович Алиев

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ Дэвид Гильберт, в то время ставший живой легендой, с работами практически во всех сферах математики, создав концепции, ставшие основой квантовой механики, и он прекрасно знал, что работа Кантора гениальна. Ведь такая идея, строгой и чёткой системы доказательств, опирающаяся на теорию множеств смогла бы решить все математические трудности, и многие с ним соглашались. Это также доказывают его слова: «Никто не сможет изгнать нас из Рая, который создал Кантор».

      Но в 1901 году Бертран Рассел указал на серьёзную проблему в теории множеств, ведь если множество может содержать что угодно, оно также содержит и другие множества и даже себя. К примеру, множество всех множеств, должно содержать и себя, как и множество множеств с более чем 5-ю или 6-ю элементами или множество всех множеств, содержащих себя. И если это принять, получается странная проблема, ведь как поступить с множеством всех множеств, которые себя не содержат?

      Ведь если это множество не содержит себя, оно должно содержать себя, а если оно не содержит себя, то по определению, оно должно содержать себя. Получается парадокс само-референции, где множество содержит себя, только если оно себя не содержит и не содержит себя, только когда содержит. Но более популярна его аллегория, с городом, где живут одни мужчины и брадобрей должен брить только тех мужчин, которые не бреются сами, но сам брадобрей тоже мужчина и там же живёт. Но если он не бреет себя, значит его должен брить брадобрей, но он не может брить себя, поскольку он не бреет тех, кто бреется сам, получается, он должен брить себя только если он не бреет себя. И разумеется, интуитивисты были рады этому парадоксу.

      Но последователи Гильберта решили эту проблему просто изменив определение на то, что множество всех множеств – это не множество, как и множество множеств, которое не содержит себя. И хотя «битва» была выиграна, само-референция оставалась и ожидала своего реванша.

      Эта проблема возродилась с 60-х годах XX века, когда математик Хао Ванг размышлял о способах разложения разноцветной плитки задав следующие условия – совмещать можно края одного цвета, но вращать или переворачивать клетку нельзя. И тогда встаёт вопрос, можно ли по случайному набору плиток сказать можно ли замостить всю плоскость? Получается ли это сделать до бесконечности и на удивление, эта задача стала не разрешимой, подобно игре «Жизнь» и вся проблема вновь свелась к уже знакомой само-референции, о которой ещё только предстояло узнать.

      И тогда Гильберт решил создать надёжную систему доказательств. Основная идея такой модели была ещё в древней Греции, где какое-то изначальное утверждение принималось за истину без доказательств – аксиому, к примеру, то что между двумя точками можно провести только одну прямую и на основе этих утверждений строятся доказательства из следствий. Так получается сохранить истинность утверждений, где если верны исходные – верны и новые.

      Так СКАЧАТЬ